Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

#1

: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Σε σημείο

ενός κύκλου (O, R)

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα AS=R

και μία τέμνουσα SBC.

Να βρεθεί η γωνία

$A\widehat SC=\theta,$ για την οποία μεγιστοποιείται το εμβαδόν (ABC).

#2

george visvikis έγραψε:Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.png
Σε σημείο ενός κύκλου φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα και μία τέμνουσα Να βρεθεί η γωνία

$A\widehat SC=\theta,$ για την οποία μεγιστοποιείται το εμβαδόν

: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού_3.png (20.6 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Με αρχή αξόνων το

και μοναδιαίο διάνυσμα $\overrightarrow i = \overrightarrow {SA}$ θα έχω τις εξισώσεις:

Του κύκλου , ${x^2} + {(y - 1)^2} = 1$ και της ευθείας , $y = k(x + 1)\,\,,\,\,k > 0$ .

Από το σύστημά τους έχω για τις συντεταγμένες των $B(a,b)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C(u,v)$ :

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} a = - \frac{{\sqrt {2k} + k}}{{k + \sqrt {2k} + 1}} \hfill \\ b = \frac{k}{{k + \sqrt {2k} + 1}} \hfill \\ c = \frac{{\sqrt {2k} - k}}{{k - \sqrt {2k} + 1}} \hfill \\ d = \frac{k}{{k - \sqrt {2k} + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.}$ και έτσι $\boxed{{E^2} = f(k) = \frac{{4{k^3}}}{{{{({k^2} + 1)}^2}}}}$

που παρουσιάζει μεγίστη τιμή για $k = \sqrt 3 \Rightarrow \theta = 60^\circ$ με $\boxed{{E_{\max }} = \frac{{\sqrt[4]{{108}}}}{4}}$ .

#3

Σ' ευχαριστώ Νίκο για την ενασχόληση με την άσκηση και τη λύση. Θα δώσω μία άλλη προσέγγιση με τριγωνομετρία.

: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού.b.png (14.7 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Για λόγους ευκολίας θεωρώ R=1

και θέτω

οπότε $\boxed{xy=1}$ (1)

και με νόμο συνημιτόνων έχω:

$A{C^2} = 1 + {x^2} - 2x\cos \theta ,A{B^2} = 1 + {y^2} - 2y\cos \theta,$ και από την (1)

είναι $A{B^2} = \dfrac{{1 + {x^2} - 2x\cos \theta }}{{{x^2}}},BC = \dfrac{{{x^2} - 1}}{x}$

$(ABC) = \dfrac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{4} = \dfrac{1}{2}(x - y)\sin \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \dfrac{{(1 + {x^2} - 2x\cos \theta )({x^2} - 1)}}{{4{x^2}}} =$ $\dfrac{{{x^2} - 1}}{{2x}}\sin \theta \Leftrightarrow$

$1 + {x^2} - 2x\cos \theta = 2x\sin \theta \Rightarrow {(\sin \theta + \cos \theta )^2} = {\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}} \right)^2} \Leftrightarrow 1 + \sin 2\theta =$ ${\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}} \right)^2} \Leftrightarrow$

$\dfrac{{{x^2} - 1}}{{2x}} = \sqrt {\sin 2\theta } \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = f(\theta ) = \sin \theta \sqrt {\sin 2\theta }},$ $0<\theta<90^0$

Η συνάρτηση

παρουσιάζει για $\boxed{\theta=60^0}$ μέγιστη τιμή ίση με $\boxed{{(ABC)_{\max }} = \frac{{\sqrt[4]{{108}}}}{4}}$

Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

Re: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

Re: Γωνία μεγιστοποίησης εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση