Λιγόλογος

KARKAR · #1

: Λιγόλογος.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Από σημείο

το οποίο κινείται επί της πλευράς

, ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε $SP\parallel CB$ και $SQ \parallel AB$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{PQ}{BS}$ .

#2

Με αναλυτική γεωμετρία προκύπτει ότι αν το

μέσο του

έχω τη μικρότερη

τιμή και είναι $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

#3

KARKAR έγραψε:Λιγόλογος.pngΑπό σημείο το οποίο κινείται επί της πλευράς , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε $SP\parallel CB$ και $SQ \parallel AB$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{PQ}{BS}$ .

: Λιγόλογος.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

Για

και με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα BPQ, PBS,

παίρνω:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} P{Q^2} = 3{x^2} - 3ax + {a^2}\\ B{S^2} = {x^2} - ax + {a^2} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{PQ}}{{BS}} = \sqrt {\frac{{3{x^2} - 3ax + {a^2}}}{{{x^2} - ax + {a^2}}}} }$ , όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι

παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{a}{2}}$ ελάχιστο ίσο με $\boxed{\frac{\sqrt 3}{3}}$

S.E.Louridas · #4

Θεωρούμε $AS = x,\;\,SC = y$ και από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο SPQ

παίρνουμε $2{x^2} + 2{y^2} = P{Q^2} + S{B^2}$ , οπότε έχουμε $2\left( {{a^2} - 2xy} \right) = P{Q^2} + S{B^2},\;\,{\text{\mu \varepsilon }}\;\,xy = {a^2} - S{B^2}$ .
Άρα μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε ${\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)^2} = 3 - 2{\left( {\frac{a}{{SB}}} \right)^2} \geqslant 3 - 2{\left( {\frac{a}{{B'B}}} \right)^2} = \frac{1}{3}.$ Συνεπώς ${\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

#5

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε $AS = x,\;\,SC = y$ και από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο παίρνουμε $2{x^2} + 2{y^2} = P{Q^2} + S{B^2}$ , οπότε έχουμε $2\left( {{a^2} - 2xy} \right) = P{Q^2} + S{B^2},\;\,{\text{\mu \varepsilon }}\;\,xy = {a^2} - S{B^2}$ .
Άρα μετά από κάποιες πράξεις καταλήγουμε ${\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)^2} = 3 - 2{\left( {\frac{a}{{SB}}} \right)^2} \geqslant 3 - 2{\left( {\frac{a}{{B'B}}} \right)^2} = \frac{1}{3}.$ Συνεπώς ${\left( {\frac{{PQ}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$

Πολύ ωραίο .

S.E.Louridas · #6

Απλά επανέρχομαι για να εξηγήσω ότι $xy = AS \cdot SC = {a^2} - S{B^2},$ και αυτό εκτός άλλων τεκμηριώσεων, πιστοποιείται
και από την δύναμη του σημείου

στον κύκλο $\left( {B,a} \right),$ όπως εξάλλου φαίνεται και στο αντίστοιχο σχήμα.
Και βέβαια να αναφέρω πως ως

θεώρησα το μέτρο της πλευράς του ισόπλευρου τριγώνου.

mikemoke · #7

KARKAR έγραψε:Λιγόλογος.pngΑπό σημείο το οποίο κινείται επί της πλευράς , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε $SP\parallel CB$ και $SQ \parallel AB$ . Βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{PQ}{BS}$ .

και

σταθερό.

Από Νόμο Συνημίτονων έχουμε
$(\dfrac{PQ}{BS})^2= \dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}= \dfrac{(a+b)^2-3ab}{(a+b)^2-ab}$

Αρκεί να βρούμε πότε μεγιστοποιείται

Φέρουμε κύκλο διαμέτρου

και η κάθετη από

σε

τέμνει τον κύκλο στο

αφού

ορθογώνιο

Προφανές

μεγιστοποιείται όταν

μέσον

Λιγόλογος

Λιγόλογος

Re: Λιγόλογος

Re: Λιγόλογος

Re: Λιγόλογος

Re: Λιγόλογος

Re: Λιγόλογος

Re: Λιγόλογος

Μέλη σε σύνδεση