Ίσα αθροίσματα γωνιών

KARKAR · #1

: Ίσα αθροίσματα γωνιών.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Τα σημεία K,L

είναι τα μέσα των μικρότερων πλευρών AB,AC

, αμβλυγωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

Πάνω στη μεσοκάθετο της

εντοπίστε σημείο

, ώστε αν οι SK,SL

τμήσουν τη βάση

στα σημεία P,Q

αντίστοιχα , το άθροισμα των μπλε γωνιών να ισούται με το άθροισμα των κόκκινων .

#2

Κατασκευή-απόδειξη

Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι b > c

Φέρνω το ύψος

του τριγώνου ABC

. Η

είναι παράλληλη στην

που

διέρχεται από τα μέσα K,L

των πλευρών του AB,AC

και άρα άξονας συμμετρίας του τετραπλεύρου ( χαρταετός) AKHL

.

Οι

είναι διάμεσοι προς τις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων $HAB\,\,,\,\,HAC$ και άρα : $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}$ .

: Ισα αθροίσματα γωνιών_ok.png (29.25 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Φέρνω τώρα στα K,L

κάθετες στις KH,LH

που τέμνονται στο

. Προφανώς:

$\widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _3}} = 90^\circ = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\omega _2}}$ . Έστω τώρα

το μέσο του

Αρκεί να δείξω ότι η $SM \bot BC$ . Το τετράπλευρο AKML

είναι παραλληλόγραμμο

και άρα το τετράπλευρο KLMB

είναι ισοσκελές τραπέζιο , συνεπώς τα σημεία :

S,K,H,M,L

ανήκουν στο κύκλο( Euler

) διαμέτρου

άρα $SM \bot BC$ .

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 26, 2018 8:43 pm Ίσα αθροίσματα γωνιών.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των μικρότερων πλευρών , αμβλυγωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

Πάνω στη μεσοκάθετο της εντοπίστε σημείο , ώστε αν οι τμήσουν τη βάση

στα σημεία αντίστοιχα , το άθροισμα των μπλε γωνιών να ισούται με το άθροισμα των κόκκινων .

Κατασκευή: Έστω

το συμμετρικό του

ως προς

Οι κάθετες από τα K, L

στις

αντίστοιχα τέμνονται στο ζητούμενο σημείο

: Ίσα αθροίσματα γωνιών.png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Απόδειξη: Από κατασκευής οι μπλε γωνίες είναι συμπληρωματικές όπως και κόκκινες, άρα τα αθροίσματα των γωνιών είναι ίσα.

Αρκεί να δείξω ότι το

είναι σημείο της μεσοκαθέτου του BC.

Έστω

το μέσο του BC.

Τότε έχουμε:

$\displaystyle \widehat S + \widehat {A'} = {180^0} \Leftrightarrow \widehat S + \widehat A = {180^0} \Leftrightarrow \widehat S + K\widehat ML = {180^0},$ άρα το SKML,

είναι εγγράψιμο και

$\displaystyle K\widehat SM = K\widehat LM = L\widehat KA = \widehat B \Rightarrow K\widehat SM + M\widehat PS = \widehat B + M\widehat PS = {90^0} \Leftrightarrow SM \bot BC$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

KARKAR · #4

: Ίσα αθροίσματα γωνιών.png (18.67 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

Χωρίς ανάλυση ....

Κατασκευή : Γράφω τον κύκλο : (K,M,L)

, ο οποίος τέμνει τη μεσοκάθετη στο σημείο

.

Απόδειξη : Λόγω της ισότητας των $\theta$ (απέναντι σε παραλληλόγραμμο και εγγεγραμμένες

στο ίδιο τόξο , είναι $\theta+\phi=90^0$ . Όμοια είναι και $\eta+\omega=90^0$ .

Χωρίς διερεύνηση ....

Είμαι περίεργος να δω τι βαθμό θα έπαιρνε αυτή μου η απάντηση σε πραγματική εξέταση

Ίσα αθροίσματα γωνιών

Ίσα αθροίσματα γωνιών

Re: Ίσα αθροίσματα γωνιών

Re: Ίσα αθροίσματα γωνιών

Re: Ίσα αθροίσματα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση