Άθροισμα αντιστρόφων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6322
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άθροισμα αντιστρόφων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 13, 2018 2:16 pm

Άθροισμα αντιστρόφων.png
Άθροισμα αντιστρόφων.png (19.62 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Έστω BE, CD οι διχοτόμοι τριγώνου ABC. H DE προεκτεινόμενη προς τοE τέμνει

τον περίκυκλο του τριγώνου στο P. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{1}{{PC}} = \frac{1}{{PA}} + \frac{1}{{PB}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Άθροισμα αντιστρόφων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Φεβ 13, 2018 11:14 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Φεβ 13, 2018 2:16 pm
Άθροισμα αντιστρόφων.png
Έστω BE, CD οι διχοτόμοι τριγώνου ABC. H DE προεκτεινόμενη προς τοE τέμνει

τον περίκυκλο του τριγώνου στο P. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{1}{{PC}} = \frac{1}{{PA}} + \frac{1}{{PB}}.
Θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω λήμμα.

Λήμμα: Ένα σημείο βρίσκεται στην ευθεία που ορίζουν τα ίχνη δυο διχοτόμων του αν και μόνο αν το άθροισμα των αποστάσεων αυτού του σημείου από δυο (κατάλληλες) πλευρές του είναι ίσο με την απόσταση από την τρίτη πλευρά.

Απόδειξη για αυτό μπορεί να βρεθεί στην γενίκευση της δημοσίευσης εδώ.

Στο πρόβλημά μας τώρα.
athroisma_antistrofwn.png
athroisma_antistrofwn.png (44.29 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές
Έστω X,Y,Z οι προβολές του P στις ευθείες AC, AB, BC αντίστοιχα. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCP έχουμε \angle PAY = \angle PCZ, οπότε τα τρίγωνα PAY, PCZ είναι όμοια. Άρα \dfrac{PY}{PA}= \dfrac{PZ}{PC} (1).

Από το παραπάνω λήμμα όμως έχουμε PY=PX+PZ, οπότε η (1) γίνεται

\dfrac{PX}{PA}+\dfrac{PZ}{PA} = \dfrac{PZ}{PC} \Rightarrow \dfrac{PX}{PA\cdot PZ} +\dfrac{1}{PA}= \dfrac{1}{PC} (2)

Από τις ισότητες των γωνιών \angle PZX = \angle PCX= \angle PCA =\angle PBA και \angle PXZ =\angle PCZ =\angle PAB συμπεράνουμε ότι τα τρίγωνα PAB και PXZ είναι όμοια. Οπότε θα ισχύει

\dfrac{PX}{PZ} =\dfrac{PA}{PB} (3)

και η σχέση (2) γίνεται \dfrac{1}{PB}+\dfrac{1}{PA} = \dfrac{1}{PC} , που είναι η ζητούμενη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης