- Διασταυρώνονται στον κύκλο.png (42.36 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές
Διαφορετικά:
Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του
τέμνει την
στο
. Θα αποδείξουμε πως τα σημεία
είναι συνευθειακά, που ισοδυναμεί με το αρχικό πρόβλημα.
Θεωρούμε την αντιστροφή με πόλο το
και δύναμη
.
Παρατηρούμε πως το
πάει στο
, ενώ το
πάει στο
. Τονίζουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του
παραμένει σταθερός μετά την αντιστροφή!
Φέρνουμε τον κύκλο αντιστροφής (είναι ο κύκλος με κέντρο
και ακτίνα
). Από την παραπάνω παρατήρηση προκύπτει ότι ο κύκλος της αντιστροφής και ο περιγεγραμμένος κύκλος του
είναι ορθογώνιοι.
Για δύο ορθογώνιους κύκλους ισχύει ότι η πολική ευθεία του κέντρου του ενός κύκλου στον άλλον κύκλο ταυτίζεται με την πολική ευθεία του άλλου κέντρου στον πρώτο κύκλο. Ειδικότερα η πολική ευθεία του
στον κύκλο της αντιστροφής ταυτίζεται με την πολική του
στον περιγεγραμμένο κύκλο του
.
Ισχύει ακόμα πως το αντίστροφο του
, έστω
, είναι η τομή της
με την πολική του
στον κύκλο αντιστροφής. Άρα σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει ότι το
είναι η τομή της
με την πολική του
στον περιγεγραμμένο κύκλο του
. Μάλιστα η πολική αυτή θα τέμνει την
κάθετα.
Παρατηρούμε ακόμη πως o περιγεγραμμένος κύκλος του
γίνεται η
και αντίστροφα, ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του
γίνεται η
.
Επομένως το αντίστροφο του
, έστω
, γίνεται η τομή των
και
.
Ακόμη το
γίνεται το
.
Ξέρουμε ότι το
ανήκει στην πολική του
ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του
(γνωστό λήμμα).
Επομένως η πολική του
ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του
είναι η
, η οποία είναι κάθετη λοιπόν στην
. Άρα
.
Προφανώς ισχύει ότι
, αφού το
είναι ύψος.
Επομένως το
είναι εγγράψιμο. Αφού τα αντίστροφα των
είναι ομοκυκλικά με τον πόλο
, θα ισχύει ότι τα
είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται.