Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
και από το φέρνω ευθεία που εφάπτεται στον κύκλο στο και τέμνει τον κύκλο
κατά σειρά στα σημεία Να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
, άρα . Με τεμνόμενες χορδές : ,
άρα : . Αλλά από Π.Θ. : , συνεπώς και : .
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Ας είναι το μέσο της χορδής θα είναι . Έστω ακόμα τα μέσα των ακτίνων .
Το τετράπλευρο προφανώς είναι ρόμβος και τα τετράπλευρα εγράψιμα σε ίσους κύκλους διαμέτρων .
Θέτω .
Επειδή :
1. γιατί η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης.
2. ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων με τέμνουσα .
3. θα είναι και αφού οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα θα είναι
Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι η εφάπτεται του κύκλου .
Τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν ( γιατί βαίνουν σε ίσα τόξα ίσων κύκλων ) θα είναι όμοια και άρα :
.
Από τις δυνάμεις των σημείων ως προς τους κύκλους , έχω ταυτόχρονα :
Με απαλοιφή του έχω : άρα οπότε η δίδει : , δηλαδή
Το τετράπλευρο προφανώς είναι ρόμβος και τα τετράπλευρα εγράψιμα σε ίσους κύκλους διαμέτρων .
Θέτω .
Επειδή :
1. γιατί η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης.
2. ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων με τέμνουσα .
3. θα είναι και αφού οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα θα είναι
Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι η εφάπτεται του κύκλου .
Τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν ( γιατί βαίνουν σε ίσα τόξα ίσων κύκλων ) θα είναι όμοια και άρα :
.
Από τις δυνάμεις των σημείων ως προς τους κύκλους , έχω ταυτόχρονα :
Με απαλοιφή του έχω : άρα οπότε η δίδει : , δηλαδή
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Θέλουμε να αποδείξουμε πως:
(1)
Παρατηρούμε πως το ορίζεται ως το συμμετρικό του ως προς την . Έστω πως η τέμνει την στο . Παρατηρούμε ακόμα πως .
Αφού εμείς θέλουμε να αποδείξουμε την (1), αρκεί να αποδειχθεί πως , δηλαδή πως .
Με άλλα λόγια αρκεί να αποδειχθεί το ισοδύναμο, δηλαδή πως αν σημείο της προέκτασης της προς το με , τότε το ανήκει στον κόκκινο κύκλο, είναι δηλαδή .
Άρα αρκεί η να είναι μεσοκάθετος του και αφού το είναι ισοσκελές, αρκεί η να διχοτομεί την .
Αφού και , έχουμε πως το είναι εγγράψιμο, άρα .
Επομένως αρκεί (2)
Έστω το σημείο τομής του μπλε κύκλου με την . Έχουμε πως . Άρα για να αποδείξουμε την (2) αρκεί να αποδείξουμε πως το σημείο που η τέμνει την είναι το , δηλαδή πως για το σημείο τομής της με την , έστω , ισχύει ότι ανήκει στο μπλε κύκλο, δηλαδή να είναι .
Έχουμε από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα πως
Τώρα με Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα και συνδυάζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε πως .
Από το ορθογώνιο με ύψος παίρνουμε πως .
Επομένως και και το ζητούμενο έπεται.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Καλά Χριστούγεννα σε όλους.george visvikis έγραψε: ↑Τετ Δεκ 20, 2017 10:38 amΕφαπτόμενο τμήμα και χορδή.png
είναι το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τριγώνου με Γράφω τους κύκλους
και από το φέρνω ευθεία που εφάπτεται στον κύκλο στο και τέμνει τον κύκλο
κατά σειρά στα σημεία Να δείξετε ότι
Έστω και .Επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι
θα είναι και άρα παραλ/μμο
Είναι κι από Π.Θ στο έχουμε
Έτσι , διάμετρος και και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ,άρα η εφάπτεται του περίκυκλου του
Μετά απ αυτά ,
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Παρακαλώ θα μπορούσε να δοθεί πιό επεξηγηματικά η πρώτη λύση με τις συντεταγμένες;
Ευχαριστώ !
Ευχαριστώ !
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Χωρίς βλάβη ( λόγω ομοιότητας ) , έστω : , οπότεgeorge visvikis έγραψε: ↑Τετ Δεκ 20, 2017 10:38 amείναι το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τριγώνου με Γράφω τους κύκλους
και από το φέρνω ευθεία που εφάπτεται στον κύκλο στο και τέμνει τον κύκλο
κατά σειρά στα σημεία Να δείξετε ότι
και με Π.Θ : . Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου
στο σημείο , είναι η : και επειδή διέρχεται από το , έχουμε :
. Επίσης είναι : . Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε το .
Η εξίσωση λοιπόν της εφαπτομένης είναι : . Είναι πλέον απλό
να βρούμε την τομή της με τον : θέτουμε , οπότε : .
Το υπολογίζεται από την ομοιότητα των τριγώνων , ( )
Υπολογίζω τα με Π.Θ. . Στη συνέχεια η :
δίνει : , οπότε με αφαίρεση : , άρα : , ό.έ.δ.
Re: Εφαπτόμενο τμήμα και χορδή
Σας ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον και για τον κόπο σας.
Χρόνια πολλά !
Χρόνια πολλά !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες