Ημικύκλιο και τετράγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9112
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημικύκλιο και τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 07, 2017 12:52 pm

Ημικύκλιο  και  τετράγωνο.png
Ημικύκλιο και τετράγωνο.png (14.84 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Τα σημεία A,B,C είναι συνευθειακά και η ακτίνα του ημικυκλίου είναι R . Υπολογίστε

την πλευρά του τετραγώνου BCDE , ώστε αν το τμήμα ES είναι εφαπτόμενο , η BS

να διχοτομεί το τμήμα AE και υπολογίστε στην περίπτωση αυτή το λόγο \dfrac{SM}{MB} .

Δείξτε επίσης , ότι τότε , το τόξο διχοτομεί το τμήμα AD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ημικύκλιο και τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Δεκ 07, 2017 6:55 pm

Έστω K η τομή της AE με το ημικύκλιο.

Παρατηρούμε πως η τετράδα (A, K, M, E) είναι αρμονική, άρα \dfrac{AM}{AE}=\dfrac{KM}{KE}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{KM}{KE}\Leftrightarrow KE=2KM

Έστω KM=x. Έχουμε πως KE=2x, άρα ME=3x και ως επακόλουθο AM=3x. Άρα AE=6x\Leftrightarrow AE^2=36x^2.

Ακόμα έχουμε πως EB^2=EK\cdot EA=2x\cdot 6x=12x^2

Από πυθαγόρειο στο τρίγωνο AEB έχουμε πως AE^2=EB^2+AB^2\Leftrightarrow 4R^2=36x^2-12x^2=24x^2\Leftrightarrow 2R=2\sqrt{6}x.

Άρα EB=2\sqrt{3}x=\dfrac{2R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}R.

Παρατηρούμε πως MB=ME=MA, άρα αφού MA\cdot MK=MB\cdot MS, έχουμε πως MS=MK=x. Άρα \dfrac{MS}{MB}=\dfrac{x}{3x}=\dfrac{1}{3}

Ξέρουμε πως BN\perp AD, άρα αρκεί το τρίγωνο ABD να είναι ισοσκελές.

Έχουμε:

BD=\sqrt{2}EB=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}R=2R=AB και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες