Συνημίτονο και θέση
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Συνημίτονο και θέση
τέμνονται στα σημεία . Ευθεία η οποία διέρχεται από το , τέμνει τον
στο σημείο και τον στο σημείο .... α) Υπολογίστε το : .
β) Βρείτε τη θέση του , για την οποία το είναι το μέσο του τμήματος .
Η άσκηση ας αφεθεί για ένα 48-ωρο μόνο στους μαθητές , απαιτείται όμως
αναλυτική τεκμηρίωση των απαντήσεών τους
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συνημίτονο και θέση
Φέρνουμε τα , , , , και . Θα είναι και .
Έστω το σημείο τομής της διακέντρου με την κοινή χορδή .
Η είναι μεσοκάθετος στην . Άρα και .
Έχουμε:
(1)
Επειδή η είναι η αντίστοιχη επίκεντρη της εγγεγραμμένης θα είναι:
(2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι (3)
Ομοίως προκύπτει ότι (4)
Από τις (3) και (4) λοιπόν έχουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και (5)
Από το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε:
και από την (5) προκύπτει ότι
Να σημειωθεί ότι σε όλα τα παραπάνω δεν παίζει ρόλο η ακριβής θέση του σημείου .
β)
Έστω το σημείο τομής της διακέντρου με τον κύκλο . Θα είναι και άρα το είναι το μέσο της διακέντρου.
Θα αποδείξουμε ότι η ζητούμενη θέση για το είναι το άλλο σημείο τομής της ευθείας με τον κύκλο .
Αρχικά θα αποδείξουμε ότι αν το είναι αυτό το σημείο τομής τότε το είναι το μέσο του και στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι αυτή είναι η μοναδική θέση για το .
Επειδή η βαίνει σε διάμετρο του θα είναι . Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν τη μία οξεία γωνία κοινή θα είναι . Επειδή θα είναι . Άρα:
(6)
Όμως η είναι η γωνία που σχηματίζεται από την πλευρά και τη διάμεσο του τριγώνου . Επειδή τα τρίγωνα και είναι όμοια, θα είναι ίσες όλες οι αντίστοιχες γωνίες τους. Άρα από την (6) προκύπτει ότι η είναι η γωνία που σχηματίζεται από την πλευρά και τη διάμεσο του τριγώνου , επομένως αναγκαστικά η είναι διάμεσος σε αυτό το τρίγωνο, δηλαδή το είναι το μέσο του .
Τέλος, προκύπτει εύκολα ότι αυτή είναι η μοναδική θέση για το .
Πιο συγκεκριμένα, δείξαμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια ανεξάρτητα από τη θέση του . Επίσης, η (η γωνία που σχηματίζεται από την πλευρά και τη διάμεσο του τριγώνου ) είναι ανεξάρτητη από τη θέση του . Επειδή πρέπει η (η γωνία που σχηματίζεται από την αντίστοιχη πλευρά και την αντίστοιχη διάμεσο του τριγώνου ) να είναι ίση με τη , και επειδή τα σημεία και είναι σταθερά, πρέπει λοιπόν και το να βρίσκεται σε συγκεκριμένη θέση, άρα ορίζεται με μοναδικό τρόπο.
Houston, we have a problem!
Re: Συνημίτονο και θέση
Στο πρώτο η αντιμετώπιση του Διονύση μάλλον είναι μονόδρομος.
Τώρα στο δεύτερο μια λίγο διαφορετική άλλη άποψη.
Αν οι προβολές των στην , αν .
Το μέσο της διακέντρου ανήκει στον αριστερό κύκλο . Στο τραπέζιο η είναι διάμεσος του άρα οπότε .
Αφού τα σταθερά η στο κατασκευάζεται . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τότε η διάκεντρος ευθεία διέρχεται από το .
Τώρα στο δεύτερο μια λίγο διαφορετική άλλη άποψη.
Αν οι προβολές των στην , αν .
Το μέσο της διακέντρου ανήκει στον αριστερό κύκλο . Στο τραπέζιο η είναι διάμεσος του άρα οπότε .
Αφού τα σταθερά η στο κατασκευάζεται . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τότε η διάκεντρος ευθεία διέρχεται από το .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες