Λόγος άνευ λόγου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9043
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος άνευ λόγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:45 am

Λόγος  άνευ  λόγου.png
Λόγος άνευ λόγου.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC με πλευρές AB=5,BC=6,CA=7 , είναι εγγεγραμμένο

σε κύκλο και ονομάσαμε A' το αντιδιαμετρικό του A . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(A'BC)}{(ABC)}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6011
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος άνευ λόγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 04, 2017 11:13 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2017 10:45 am
Λόγος άνευ λόγου.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC με πλευρές AB=5,BC=6,CA=7 , είναι εγγεγραμμένο

σε κύκλο και ονομάσαμε A' το αντιδιαμετρικό του A . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{(A'BC)}{(ABC)}
Λόγος άνευ λόγου.png
Λόγος άνευ λόγου.png (18.39 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Εμβαδόν του ABC με δύο τρόπους: \displaystyle \sqrt {9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}  = (ABC) = \frac{{5 \cdot 6 \cdot 7}}{{4R}} \Rightarrow \boxed{R = \frac{{35\sqrt 6 }}{{24}}}

Με Π. Θ στα ορθογώνια τρίγωνα ABA', ACA' βρίσκω: \displaystyle A'B = \frac{{25}}{{2\sqrt 6 }},A'C = \frac{7}{{2\sqrt 6 }} κι επειδή τα ζητούμενα τρίγωνα

έχουν μία γωνία παραπληρωματική, θα είναι \displaystyle \frac{{(A'BC)}}{{(ABC)}} = \frac{{A'B \cdot A'C}}{{AB \cdot AC}} \Leftrightarrow \boxed{ \frac{{(A'BC)}}{{(ABC)}} = \frac{5}{{24}}}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 662
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγος άνευ λόγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 13, 2017 11:38 pm

Χαιρετώ τους αγαπητούς ! Με χρήση του σχήματος :
4-11-17 KARKAR.PNG
4-11-17 KARKAR.PNG (11.8 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές
Για κάθε τρίγωνο ABC από τον Νόμο Ημιτόνων και τον τύπο \left ( ABC \right )=\dfrac{abc}{4R} προκύπτει \left ( ABC \right )=2R^{2}\eta \mu A\cdot \eta \mu B\cdot \eta \mu C

άρα και \left ( A'BC \right )=2R^{2}\eta \mu A'\cdot \eta \mu \left ( \pi /2-B \right )\cdot \eta \mu \left ( \pi /2-C \right )=2R^{2}\eta \mu A\cdot \sigma \upsilon \nu B\cdot \sigma \upsilon \nu C.

Έτσι έχουμε \dfrac{\left ( A'BC \right )}{\left ( ABC \right )}=\dfrac{\sigma \upsilon \nu B\cdot \sigma \upsilon \nu C}{\eta \mu B\cdot \eta \mu C}=\dfrac{1}{\varepsilon \varphi B\cdot \varepsilon \varphi C}=\dfrac{5}{24} σύμφωνα και με το θέμα Τριγωνομέτρηση.

Φιλικά , Γιώργος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5235
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος άνευ λόγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 14, 2017 10:51 am

Αν το ύψος AD κόψει τον κύκλο στο T και H το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC θα είναι : HD = DT . και προφανώς (A'BC) = (HBC)\,\,\,.

Συνεπώς αρκεί να υπολογίσουμε το λόγο , \boxed{\frac{{(HBC)}}{{(ABC)}} = k \Leftrightarrow \frac{{DT}}{{AD}} = k}.
Λόγος ανευ λόγου.png
Λόγος ανευ λόγου.png (32 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές
Επειδή ( Θ. επέκτασης) A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2BC \cdot BD \Rightarrow 49 = 25 + 36 - 12BD \Rightarrow \boxed{BD = 1} . Έτσι από το Π. Θ. στο \vartriangle ABD βρίσκω \boxed{AD = 2\sqrt 6 }.

Αλλά DB \cdot DC = DA \cdot DT \Rightarrow 5 = 2\sqrt 6 DT και άρα ο λόγος που ζητάμε είναι :


\boxed{k = \dfrac{{DT}}{{DA}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{2\sqrt 6 }}}}{{2\sqrt 6 }} = \dfrac{5}{{24}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης