Θεωρούμε κύκλο

S.E.Louridas · #1

Θεωρούμε κύκλο (O,R)

και χορδή του

. Έστω

τυχόν εσωτερικό σημείο του τόξου

και

τυχόν σημείο της χορδής AB.

Έστω επίσης

σημείο της χορδής

, ώστε $SP\parallel MB.$ Σε ποια θέση του

επί της

, μεγιστοποιείται το εμβαδόν (MPS);

#2

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε κύκλο και χορδή του . Έστω τυχόν εσωτερικό σημείο του τόξου και τυχόν σημείο της χορδής
Έστω επίσης σημείο της χορδής , ώστε $SP\parallel MB.$ Σε ποια θέση του επί της , μεγιστοποιείται το εμβαδόν

Γεια σου Σωτήρη!

: Θεωρούμε κύκλο.png (15.42 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

$\displaystyle{\frac{{(MPS)}}{{(MAB)}} = \frac{{(MPS)}}{{(MAS)}} \cdot \frac{{(MAS)}}{{(MAB)}} = \frac{{MP}}{{MA}} \cdot \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{SB}}{{AB}} \cdot \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{{R^2} - O{S^2}}}{{A{B^2}}} \le \frac{{{R^2} - O{N^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{1}{4}}$

Άρα, $\boxed{{(MPS)_{\max }} = \frac{{(MAB)}}{4}}$ , όταν το

είναι μέσο του AB.

#3

Και λίγο διαφορετικά: (Νομίζω δεν χρησιμοποιώ πουθενά τον κύκλο)
Αφού οι γωνίες $\angle{SPM}$ και $\angle{AMB}$ είναι παραπληρωματικές θα έχουμε ότι

$\displaystyle\frac{(SPM)}{(MAB)}=\frac{SP\cdot PM}{MA\cdot MB}=\frac{AS}{AB}\cdot\frac{SB}{AB}\leq\frac{(AS+SB)^2}{4AB^2}=\frac{1}{4}$ ,

όπου χρησιμοποίησα τα όμοια τρίγωνα και στη συνέχεια την ανισότητα $xy\leq\frac{(x+y)^2}{4}$ .

S.E.Louridas · #4

Ναι πράγματι το πρόβλημα αυτό είναι μία κάποια γενίκευση του προβλήματος https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 21#p287921,
που επινόησα για να δούμε και άλλη γεωμετρική μέθοδο επίλυσης και με βάση τη παρατήρηση του Σιλουανού. Προφανώς και μπορεί να γενικευτεί ακόμα περισσότερο.

S.E.Louridas · #5

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε κύκλο και χορδή του . Έστω τυχόν εσωτερικό σημείο του τόξου και τυχόν σημείο της χορδής
Έστω επίσης σημείο της χορδής , ώστε $SP\parallel MB.$ Σε ποια θέση του επί της , μεγιστοποιείται το εμβαδόν

Απλά επανέρχομαι για να "απολογηθώ" στο γιατί μίλησα για τον κύκλο διατηρώντας την νοοτροποία του Θανάση στο πρόβλημα https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 21#p287921, όπου ουσιαστικά υπάρχει ο αυτός ο κύκλος.
Απλά θεωρώ ότι η απάντηση είναι ${\left( {SPM} \right)_{\max }} = \frac{1}{4}\left( {FAB} \right),$ όπου

είναι το μέσον του τόξου

που κινήται το σημείο

Αυτό επειδή $\left( {MAB} \right) \leqslant \left( {FAB} \right).$

Θεωρούμε κύκλο

Θεωρούμε κύκλο

Re: Θεωρούμε κύκλο

Re: Θεωρούμε κύκλο

Re: Θεωρούμε κύκλο

Re: Θεωρούμε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση