Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Αν σημεία των αντίστοιχα, τέτοια ώστε και οι τέμνουν την στα αντίστοιχα,
δείξτε ότι :
Αφιερωμένο στην ομάδα που μας έκανε περήφανους με την επιτυχία της στην ΙΜΟ2017
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Καλησπέρα.sakis1963 έγραψε: Ισοσκελές τρίγωνο ειναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το αντιδιαμετρικό του .
Αν σημεία των αντίστοιχα, τέτοια ώστε και οι τέμνουν την στα αντίστοιχα,
δείξτε ότι :
Αφιερωμένο στην ομάδα που μας έκανε περήφανους με την επιτυχία της στην ΙΜΟ2017
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα1:
Ζητούμε τη σχέση:
Η σχέση αυτή ισοδυναμεί:
Έτσι η προς απόδειξη σχέση (2) τη εννοούμε στο σχήμα 2.
(Η συνέχεια σε επόμενο μήνυμα...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Συνέχεια από την προηγούμενη ανάρτηση...
Πριν αποδείξουμε τη σχέση (2) που είναι ισοδύναμη της αρχικά ζητούμενης (1) θα
δείξουμε την ακόλουθη πρόταση:
Πρόταση 1.
Αν είναι το παράκεντρο ενός τριγώνου το οποίο αντιστοιχεί στην πλευρά
τότε το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι το σημείο τομής των τμημάτων ,
όπου είναι τα σημεία τομής των τμημάτων με το τμήμα , όπου
τα σημεία επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά με τις ημιευθείες
που ορίζουν αντίστοιχα οι πλευρές του τριγώνου. (Σχ.2) Απόδειξη:
Στο σχήμα 3 θεωρούμε ως το σημείο τομής της με την , όπου:
.
Προφανώς τότε η είναι κάθετη στην Φέρουμε ακόμα τα τμήματα και τα οποία θα δείξουμε ότι είναι συνευθειακά.
Πράγματι:
- Από το εγγραψιμο τετράπλευρο προκύπτει:
- Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων προκύπτει:
- Από το εγγράψιμο τετράπλευρο προκύπτει:
Από τις (4), (5) και (6) προκύπτει:
Από την (7) προκύπτει ότι τα τμήματα είναι συνευθειακά και συνεπώς το σημείο
είναι το σημείο τομής της με την .
Έτσι λοιπόν η με το σημείο ως η τομή της με την είναι κάθετη στην
δηλαδή ύψος του τριγώνου .
Όμοια δειχνεται ότι και το είναι κάθετο στην , δηλαδή το δεύτερο ύψος του τριγώνου .
Έτσι η τομή τους δίνει το ορθόκεντρο του τριγώνου αυτού από το οποίο θα διέλθει και το τρίτο ύψος .
(ακολουθεί σε επόμενο μήνυμα το τρίτο μέρος...)
Κώστας Δόρτσιος
Πριν αποδείξουμε τη σχέση (2) που είναι ισοδύναμη της αρχικά ζητούμενης (1) θα
δείξουμε την ακόλουθη πρόταση:
Πρόταση 1.
Αν είναι το παράκεντρο ενός τριγώνου το οποίο αντιστοιχεί στην πλευρά
τότε το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι το σημείο τομής των τμημάτων ,
όπου είναι τα σημεία τομής των τμημάτων με το τμήμα , όπου
τα σημεία επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά με τις ημιευθείες
που ορίζουν αντίστοιχα οι πλευρές του τριγώνου. (Σχ.2) Απόδειξη:
Στο σχήμα 3 θεωρούμε ως το σημείο τομής της με την , όπου:
.
Προφανώς τότε η είναι κάθετη στην Φέρουμε ακόμα τα τμήματα και τα οποία θα δείξουμε ότι είναι συνευθειακά.
Πράγματι:
- Από το εγγραψιμο τετράπλευρο προκύπτει:
- Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων προκύπτει:
- Από το εγγράψιμο τετράπλευρο προκύπτει:
Από τις (4), (5) και (6) προκύπτει:
Από την (7) προκύπτει ότι τα τμήματα είναι συνευθειακά και συνεπώς το σημείο
είναι το σημείο τομής της με την .
Έτσι λοιπόν η με το σημείο ως η τομή της με την είναι κάθετη στην
δηλαδή ύψος του τριγώνου .
Όμοια δειχνεται ότι και το είναι κάθετο στην , δηλαδή το δεύτερο ύψος του τριγώνου .
Έτσι η τομή τους δίνει το ορθόκεντρο του τριγώνου αυτού από το οποίο θα διέλθει και το τρίτο ύψος .
(ακολουθεί σε επόμενο μήνυμα το τρίτο μέρος...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Τελική ανάρτηση ...
Στο ακόλουθο σχήμα 4 φέρουμε από το σημείο την παράλληλη προς την πλευρά
η οποία τέμνει την στο σημείο . Θα δείξουμε ότι το σημείο αυτό είναι το μέσον της
πλευράς . (Πρόταση 2)
Πράγματι από την παραλληλία της εύκολα διαπιστώνεται ότι
Επίσης επειδή η είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας , θα είναι:
Επομένως από τις (8) και (9) προκύπτει ότι:
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές καθόσον το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Έτσι εύκολα δείχνεται ότι το σημείο είναι μέσον της .
Όμοια δείχνεται ότι και η παράλληλος από το σημείο προς την πλευρά διέρχεται κι αυτή από το μέσον της πλευράς .
Σύμφωνα τώρα με τις προτάσεις αυτές (1) και (2) επιστρέφουμε στο ακόλουθο σχήμα 5 (αντίστοιχο του σχήματος 2), με το συμβολισμό της
αρχικής εκφώνησης και έτσι εκτελούμε τον ισεμβαδικό μετασχηματισμό των τριγώνων και
μετακινώντας τις κορυφές αυτών παράλληλα προς τις αντίστοιχες βάσεις των επί των παραλλήλων
.
Έτσι δείχνουμε την αλήθεια της ζητούμενης πρότασης (2).
Παρατηρήσεις:
1η) Παρουσίασα τη λύση σε "τρεις δόσεις", λόγω των πολλών σχημάτων.
2η) Τήρησα ενιαία την αρίθμηση των σχημάτων καθώς και των σχέσεων.
3η) Ανάφερα την πρόταση ως ξεχωριστή γιατί νομίζω ότι είναι πολύ ενδιαφέρουσα και σημαντική.
4η) Υπογράφω την αφιέρωση του Σάκη προς την ομάδα της IMO2017!!
Τέλος αναρτώ και το δυναμικό σχήμα των ισεμβαδικών μετασχηματισμών με κατάλληλη βοήθεια. Κώστας Δόρτσιος
Στο ακόλουθο σχήμα 4 φέρουμε από το σημείο την παράλληλη προς την πλευρά
η οποία τέμνει την στο σημείο . Θα δείξουμε ότι το σημείο αυτό είναι το μέσον της
πλευράς . (Πρόταση 2)
Πράγματι από την παραλληλία της εύκολα διαπιστώνεται ότι
Επίσης επειδή η είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας , θα είναι:
Επομένως από τις (8) και (9) προκύπτει ότι:
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές καθόσον το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Έτσι εύκολα δείχνεται ότι το σημείο είναι μέσον της .
Όμοια δείχνεται ότι και η παράλληλος από το σημείο προς την πλευρά διέρχεται κι αυτή από το μέσον της πλευράς .
Σύμφωνα τώρα με τις προτάσεις αυτές (1) και (2) επιστρέφουμε στο ακόλουθο σχήμα 5 (αντίστοιχο του σχήματος 2), με το συμβολισμό της
αρχικής εκφώνησης και έτσι εκτελούμε τον ισεμβαδικό μετασχηματισμό των τριγώνων και
μετακινώντας τις κορυφές αυτών παράλληλα προς τις αντίστοιχες βάσεις των επί των παραλλήλων
.
Έτσι δείχνουμε την αλήθεια της ζητούμενης πρότασης (2).
Παρατηρήσεις:
1η) Παρουσίασα τη λύση σε "τρεις δόσεις", λόγω των πολλών σχημάτων.
2η) Τήρησα ενιαία την αρίθμηση των σχημάτων καθώς και των σχέσεων.
3η) Ανάφερα την πρόταση ως ξεχωριστή γιατί νομίζω ότι είναι πολύ ενδιαφέρουσα και σημαντική.
4η) Υπογράφω την αφιέρωση του Σάκη προς την ομάδα της IMO2017!!
Τέλος αναρτώ και το δυναμικό σχήμα των ισεμβαδικών μετασχηματισμών με κατάλληλη βοήθεια. Κώστας Δόρτσιος
Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Αφού ευχαριστήσω τον κ. Δόρτσιο για τα καλά του λόγια και για την ωραία και πληθωρική λύση (όπως πάντα),
να δώσω και μια άλλη λύση εδώ από κ. Απόστολο Μανωλούδη
και να παραπέμψω στην γενίκευση της παραπάνω άσκησης που θα τεθεί ως ξεχωριστό θέμα Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση).
να δώσω και μια άλλη λύση εδώ από κ. Απόστολο Μανωλούδη
και να παραπέμψω στην γενίκευση της παραπάνω άσκησης που θα τεθεί ως ξεχωριστό θέμα Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό (γενίκευση).
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Ισεμβαδικότητα σε εγγεγραμμένο χαρταετό
Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο με οπότεsakis1963 έγραψε:GEOMETRIA187=FB994.png
Ισοσκελές τρίγωνο ειναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το αντιδιαμετρικό του .
Αν σημεία των αντίστοιχα, τέτοια ώστε και οι τέμνουν την στα αντίστοιχα,
δείξτε ότι :
Αφιερωμένο στην ομάδα που μας έκανε περήφανους με την επιτυχία της στην ΙΜΟ2017
Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αφού ,άρα και
Είναι, και και
Επειδή όμως εγγράψιμο ,συνεπώς
Άρα εγγράψιμο εγγράψιμο
Έτσι ως συμπληρώματα των ίσων γωνιών και ως συμπληρώματα των ίσων γωνιών
Είναι λοιπόν, .Ακόμη,
Άρα,
Επίσης .Ακόμη,
Άρα,
Με πρόσθεση των έχουμε
ή
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 12 επισκέπτες