Ορθοτριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Ορθοτριγωνομετρία.png (16.76 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , ώστε αν ο έγκυκλος εφάπτεται των AB,BC,AC

,

στα σημεία S,Q,P

αντίστοιχα και η

τέμνει τον κύκλο στο

, να είναι PM=MB

.

Αν η

τέμνει τον κύκλο στο

, δείξτε ότι TP=QM

.

sakis1963 · #2

: GEOMETRIA Ορθοτριγωνομετρία.png (30.33 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Για το α. ισχύουν :

δύναμη σημείου

ως προς

:

..... (1)

Π.Θ. APB

:

..... (2)

Από (1), (2) με πραξούλες c^2-4cr+r^2=0

που έχει δεκτή ρίζα (αφού c>r

) $c=r(2+\sqrt3)$

δηλ. $tan \hat{APB}=\dfrac{c}{r}=2+\sqrt3$ άρα $\hat{APB}=75^o$ οπότε η κατασκευή είναι απλή

#3

Για την κατασκευή. ( χωρίς υπολογισμόυς)

: ορθοτριγωνομετρία_a.png (18.86 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Στο τετράγωνο ASOP

. γράφω τον κύκλο (O,OS)

και από το μέσο

του

φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει ακόμα τον κύκλο στο

. Από το

συμμετρικό

του

ως προς

φέρνω την άλλη εφαπτομένη του κύκλου που

τέμνει την ευθεία

στο

.

#4

KARKAR έγραψε:Ορθοτριγωνομετρία.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , ώστε αν ο έγκυκλος εφάπτεται των ,

στα σημεία αντίστοιχα και η τέμνει τον κύκλο στο , να είναι .

Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξτε ότι .

Χαιρετώ τους φίλους!

Χωρίς υπολογισμούς, η ενδεδειγμένη κατασκευή είναι αυτή του Νίκου

Με υπολογισμούς τώρα περιγραφικά...

: Ορθοτριγωνομετρία.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Από $\displaystyle{B{S^2} = BM \cdot BP \Leftrightarrow \frac{{{{(a + c - b)}^2}}}{4} = \frac{{B{P^2}}}{2} = \frac{1}{2}\left[ {{c^2} + \frac{{{{(b + c - a)}^2}}}{4}} \right],{a^2} = {b^2} + {c^2}}$ , βρίσκω:

$\boxed{a = \frac{b}{4}\left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)}$ και $\boxed{c = \frac{b}{4}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}$ Με νόμο συνημιτόνων στο CPQ

υπολογίζω το

και με

θεώρημα διαμέσων στο CPB

και δύναμη σημείου

ως προς τον κύκλο υπολογίζω το

και βρίσκω:

$\displaystyle{P{Q^2} = \frac{{3{b^2}}}{{52}}\left( {4 + \sqrt 3 } \right) = T{M^2} \Rightarrow }$ $\boxed{TP=QM}$

#5

KARKAR έγραψε:Ορθοτριγωνομετρία.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , ώστε αν ο έγκυκλος εφάπτεται των ,

στα σημεία αντίστοιχα και η τέμνει τον κύκλο στο , να είναι .

Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξτε ότι .

Για το δεύτερο ερώτημα

: ορθοτριγωνομετρία_b.png (21.95 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Αν

το σημείο τομής των $PQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM$ επειδή η τετράδα $(C,K\backslash T,M)$ είναι

αρμονική και η

διάμεσος στο $\vartriangle QPB$ , θα είναι TQ//PB

οπότε το

εγγεγραμμένο τετράπλευρο TQMP

είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Παρατήρηση:

Ο αυτόφωτος κ. KARKAR

έδωσε πάλι μια ωραία σύνθεση

.

Ορθοτριγωνομετρία

Ορθοτριγωνομετρία

Re: Ορθοτριγωνομετρία

Re: Ορθοτριγωνομετρία

Re: Ορθοτριγωνομετρία

Re: Ορθοτριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση