Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 15, 2017 3:00 am

Καλημέρα σε όλους ! Προσωπική σύνθεση :
15-7-17 Από μέσον ... ορθόκεντρο !.PNG
15-7-17 Από μέσον ... ορθόκεντρο !.PNG (10.92 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές

Το AH είναι ύψος του τριγώνου ABC και το E σημείο της πλευράς AC ώστε HE\perp AC.

Αν το τόξο που ορίζουν τα σημεία B,E,C τέμνει το AH στο μέσον του , έστω M τότε

Να εξεταστεί αν το M είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Παρά την σχετικά απλή εκφώνηση , μου φαίνεται ως σύνθετο θέμα (αυτή την ώρα .. :) ) .Λέτε να έχει και λύση απλή ;

Ευχαριστώ , Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5020
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από S.E.Louridas » Σάβ Ιούλ 15, 2017 7:41 am

Γιώργο Καλημέρα. Προσωπικά θεωρώ ότι είναι καλό θέμα.

Αν ονομάσουμε S το σημείο τομής του AH με τον κύκλο που περνά από τα σημεία E,B,C, τότε AM \cdot AS = AE \cdot AC = 4A{M^2} \Rightarrow AS = 4AM \Rightarrow AH = HS, οπότε το S θα είναι συμμετρικό του A ως προς την BC.
Άρα \angle MCB = \angle MSB = \angle BAH \Rightarrow CM \bot AB.
Γ.Μ..png
Γ.Μ..png (9.16 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από george visvikis » Σάβ Ιούλ 15, 2017 10:35 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Προσωπική σύνθεση :
15-7-17 Από μέσον ... ορθόκεντρο !.PNG
Το AH είναι ύψος του τριγώνου ABC και το E σημείο της πλευράς AC ώστε HE\perp AC.

Αν το τόξο που ορίζουν τα σημεία B,E,C τέμνει το AH στο μέσον του , έστω M τότε

Να εξεταστεί αν το M είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.

Παρά την σχετικά απλή εκφώνηση , μου φαίνεται ως σύνθετο θέμα (αυτή την ώρα .. :) ) .Λέτε να έχει και λύση απλή ;

Ευχαριστώ , Γιώργος .


Καλημέρα σε όλους!
Αν μέσο ύψους τότε...ορθόκεντρο.png
Αν μέσο ύψους τότε...ορθόκεντρο.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

\displaystyle{EM = MA = MH}. Από το εγγεγραμμένο BMEC και από το ισοσκελές AME, οι γαλάζιες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους,

καθώς επίσης και οι πράσινες ως κατακορυφήν. Άρα \boxed{\widehat Z=\widehat H=90^0} και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4972
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Doloros » Σάβ Ιούλ 15, 2017 10:48 am

Αν  μέσο ΄τψους τότε ορθόκεντρο.png
Αν μέσο ΄τψους τότε ορθόκεντρο.png (22.52 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές


Επειδή η \widehat {{\theta _1}} είναι εξωτερική στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο BMEC θα είναι :

\widehat {{\theta _1}} = \widehat C. Αλλά \widehat {{\theta _2}} = \widehat C ( οξείες με κάθετες πλευρές) , άρα \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,(1) . Όμως από το

ορθογώνιο τρίγωνο AEH με διάμεσο την EM θα είναι \widehat {{\theta _2}} = \widehat \omega οπότε λόγω της

(1) θα είναι \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat \omega } \Leftrightarrow BT//HE , άρα \boxed{BT \bot AC} που μας εξασφαλίζει ότι το M

είναι ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.

Βλέπω τα ίδια περίπου με το Γιώργο το Βισβίκη .


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:39 am

    Χαίρετε ! Σωτήρη , Γιώργο και Νίκο σας ευχαριστώ για τις κομψές , μεστές σε νοήματα λύσεις.
    Στα χέρια δυνατών τα πράγματα γίνονται απλά!
    Ας θέσω ακόμη ένα ζητούμενο :
    15-7-17 Λόγος  εμβαδών.PNG
    15-7-17 Λόγος εμβαδών.PNG (7.57 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

    Αν το τόξο τέμνει την AB και στο I και δοθεί ότι \dfrac{EB}{AC}=\lambda τότε

    Να υπολογιστεί ο λόγος : \dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( ICA \right )}

    Φιλικά Γιώργος


    Άβαταρ μέλους
    george visvikis
    Επιμελητής
    Δημοσιεύσεις: 5544
    Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

    Re: Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

    Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από george visvikis » Σάβ Ιούλ 15, 2017 5:16 pm

    Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
      Χαίρετε ! Σωτήρη , Γιώργο και Νίκο σας ευχαριστώ για τις κομψές , μεστές σε νοήματα λύσεις.
      Στα χέρια δυνατών τα πράγματα γίνονται απλά!
      Ας θέσω ακόμη ένα ζητούμενο :15-7-17 Λόγος εμβαδών.PNG
      Αν το τόξο τέμνει την AB και στο I και δοθεί ότι \dfrac{EB}{AC}=\lambda τότε

      Να υπολογιστεί ο λόγος : \dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( ICA \right )}

      Φιλικά Γιώργος


      Γεια σου Γιώργο!
      Αν μέσο ύψους τότε...ορθόκεντρο.b.png
      Αν μέσο ύψους τότε...ορθόκεντρο.b.png (18.23 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

      Τα τρίγωνα ABE, ICA έχουν την \widehat A κοινή και I\widehat BE=I\widehat CA, οπότε είναι όμοια. Επειδή όμως MA=ME,

      το ABE είναι ισοσκελές, ομοίως και το ICA. Άρα: \displaystyle{\frac{{(ABE)}}{{(ICA)}} = {\left( {\frac{{EB}}{{AC}}} \right)^2} \Leftrightarrow } \boxed{\dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( ICA \right )}=\lambda ^2}


      Γιώργος Μήτσιος
      Δημοσιεύσεις: 611
      Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
      Τοποθεσία: Aρτα

      Re: Αν μέσον ύψους τότε ... ορθόκεντρο!

      Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιούλ 16, 2017 12:40 pm

      Xαιρετώ όλους ! Σ' ευχαριστώ Γιώργο και πάλι.
      Ας γράψω λίγα σχετικά με την σύνθεση του θέματος.
      ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ !.PNG
      ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ !.PNG (6.78 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

      Αρχικά από τη σχέση AE\cdot AC =AH^{2} και την ομοιότητα των AZE,ABC έδειξα την ομοιότητα των AZH,ABH άρα HZ\perp AB.

      Στην συνέχεια ''έφερα'' την τομή M στο μέσον του OH ώστε να είναι ZM=AH/2=ME

      και είχα σκοπό να βάλω τίτλο (εννοώντας την CM) : Από διάμεσος (του AHC) ..διχοτόμος (της A\widehat{C}Z).

      Eίδα όμως την ισότητα ZC=AC (από την ισότητα των αμβλυγωνίων MAC,MZC) που δίνει CM\perp AZ δηλ. το M ως ορθόκεντρο..

      Έχοντας την αίσθηση ότι (όπως πολλάκις συνέβη) η απόσταση Δεδομένων-Ζητούμενο είναι στην ουσία πολύ μικρότερη
      ήξερα .. :) .. και πού πρέπει να απευθυνθώ για κομψές, χωρίς περιπλάνηση λύσεις !

      Με το β' ζητούμενο ήθελα να αναδειχθούν οι ισότητες AB=BE , AC=ZC..
      Με την παρούσα ανάρτηση θα ήθελα , επειδή προβλέπεται να αργήσω να συνδεθώ με :logo:
      να ευχηθώ ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ και προπαντός ΥΓΕΙΑ σε όλους !

      Γιώργος Μήτσιος



      Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

      Μέλη σε σύνδεση

      Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης