Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 676
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από sakis1963 » Σάβ Ιουν 17, 2017 1:44 am

GEOMETRIA186.png
GEOMETRIA186.png (25.8 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Σε κύκλο (O, R) παίρνουμε διαδοχικές χορδές AB, BC τέτοιες ώστε :

α. το σημείο Nagel N, του τριγώνου OAB να ανήκει στον έγκυκλο του OAB και

β. το βαρύκεντρο G, του τριγώνου OBC να ανήκει στον έγκυκλο του OBC

Δείξτε οτι : \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}=\dfrac{4}{R}


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3685
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Χορδές σε σχέση με την ακτίνα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Αύγ 12, 2017 3:03 am

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA186.png
Σε κύκλο (O, R) παίρνουμε διαδοχικές χορδές AB, BC τέτοιες ώστε :
α. το σημείο Nagel N, του τριγώνου OAB να ανήκει στον έγκυκλο του OAB και
β. το βαρύκεντρο G, του τριγώνου OBC να ανήκει στον έγκυκλο του OBC
Δείξτε οτι : \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}=\dfrac{4}{R}


"Γέρασε" αυτό το θέμα Θανάση! :lol: . Μιας και θα συναντηθείς με τους ΓΙΓΑΝΤΕΣ αύριο για να τους δώσεις χαιρετισμούς ας δούμε και μια προσέγγιση.

Για το σημείο Nagel N , το βαρύκεντρο K και το έγκεντρο I του τριγώνου \vartriangle OAB είναι γνωστό εδώ ότι είναι συνευθειακά και ισχύει

KN = 2KI \Rightarrow NI = \dfrac{3}{2}KI \Rightarrow NI = \dfrac{3}{2}\left( {KM - IM} \right) \Rightarrow \dfrac{{NM}}{2} = \dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{AM}}{3} - \dfrac{{NM}}{2}} \right) \Rightarrow  \ldots NM = \dfrac{{OM}}{2} \Rightarrow \boxed{IN = \dfrac{1}{3}IO}:\left( 1 \right).
Χορδές σε σχέση με την ακτίνα.png
Χορδές σε σχέση με την ακτίνα.png (35.29 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

Επίσης ισχύει: NE\parallel IB (κάθετες στην EM) άρα από το
Θ. Θαλή ισχύει

NE\parallel IB \Rightarrow \dfrac{{EB}}{{OB}} = \dfrac{{NI}}{{IO}}\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{1}{3} \mathop  \Rightarrow \limits^{EB = MB = \frac{{AB}}{2}} \dfrac{{\dfrac{{AB}}{2}}}{R} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{AB = \dfrac{{2R}}{3}}.

Για το
βαρύκεντρο G του τριγώνου \vartriangle OBC ισχύει: \dfrac{{OG}}{{GT}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{OG}}{{2GJ}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{GJ}}{{OG}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{GJ}}{{OJ}} = \dfrac{1}{5}}:\left( 2 \right).

. Αλλά ομοίως ισχύει: ZG\parallel CJ (κάθετες στην ZT ) οποτε από το
Θ. Θαλή θα ισχύει :

\dfrac{{ZC}}{{OC}} = \dfrac{{GJ}}{{OJ}}\mathop  = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{1}{4}\mathop  \Rightarrow \limits^{ZC = CT = \frac{{BC}}{2}} \dfrac{{\dfrac{{BC}}{2}}}{R} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \boxed{BC = \dfrac{{2R}}{5}}.

Έτσι \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}=\dfrac{3}{2R}+\dfrac{5}{2R}=\dfrac{8}{2R}=\dfrac{4}{R} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης.

Εχω την εντύπωση ότι το έχω δει και στους ρομαντικούς και νομίζω έχει λυθεί. Ελπίζω να μην ταυτίζομαι με τη λύση που δυστυχώς δεν έχω δει. Μην νομίζεις ότι ξενυχτάω (εδώ (Βρυξέλλες μεριά) είναι μια ώρα νωρίτερα :)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης