Σταθερό κινητό

KARKAR · #1

: Σταθερό κινητό.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Η χορδή

έχει σταθερό μήκος και κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

.

Δείξτε ότι το άθροισμα (ASP)+(BSP)

παραμένει σταθερό .

#2

KARKAR έγραψε:Η χορδή έχει σταθερό μήκος και κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Δείξτε ότι το άθροισμα παραμένει σταθερό .

Αφού το άθροισμα των εμβαδών είναι $AS\cdot AP \sin \theta + BS \cdot BP \sin \theta$ (όπου $\theta$ η σταθερή γωνία στο

) αρκεί να δείξουμε $AS\cdot AP + BS \cdot BP$ σταθερό.

Από τον νόμο των συνημιτόνων στα χρωματιστά τρίγωνα έχουμε

$SP ^2 = AS^2 + AP^2 - AS\cdot AP \cos \theta$
$SP ^2 = BS^2 + BP^2 - BS\cdot BP \cos \theta$

Με πρόσθεση κατά μέλη και από το Πυθαγόρειο AS^2 +BS^2 = AB^2= AP^2 + BP^2

έπεται το ζητούμενο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε:Σταθερό κινητό.pngΗ χορδή έχει σταθερό μήκος και κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου .

Δείξτε ότι το άθροισμα παραμένει σταθερό .

$\displaystyle{2\left( {ASP} \right) + 2\left( {SPB} \right) = SP \cdot AQ + SP \cdot BT = SP\left( {AQ + BT} \right) = 2SP \cdot OM = ct}$

: sk.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: αρκεί να δείξουμε $AS\cdot AP + BS \cdot BP$ σταθερό.

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

. Τότε αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ (AS)(BP') + (BS)(AP')}$

σταθερό.

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου αυτό είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι το (AB)(SP')

είναι σταθερό. Όμως (AB) = 2R

και $(SP') = \sqrt{(2R)^2 - (SP)^2}$ όπου

η ακτίνα του κύκλου.

Σταθερό κινητό

Σταθερό κινητό

Re: Σταθερό κινητό

Re: Σταθερό κινητό

Re: Σταθερό κινητό

Μέλη σε σύνδεση