Βαρύκεντρο ισοσκελούς

KARKAR · #1

: Βαρύκεντρο ισοσκελούς.png (12.48 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές (AB=AC)

, με γνωστή τη βάση

και το

είναι το

βαρύκεντρό του . Γράφουμε τον κύκλο (G,GD)

και την εφαπτομένη

, η οποία τέμνει

τη διάμεσο

στο

και την πλευρά

στο

. α) Πώς θα κατασκευάσετε το τρίγωνο

ώστε να είναι $BT \perp AC$ ; β) Προσπαθήστε στην περίπτωση αυτή να βρείτε το λόγο : $\dfrac{AP}{PD}$

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα σε όλους .Με τη βοήθεια του σχήματος :

: Βαρύκεντρο ισοσκελούς.PNG (8.96 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

Έχουμε

συνεπώς η διάμεσος

είναι διχοτόμος στο τρίγωνο TBC

. Φέρω $MN\perp BC \Rightarrow NC=DC/2=BC/4$ .

Από το Θ. διχοτόμου στο TBC

: $\dfrac{MC}{MT}=\dfrac{BC}{BT}..(1)$ . Είναι MC=AC/2.. MT=MN=AD/2..BT=BN=3BC/4

Αρα $(1)\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ και με γνωστή την BC=a

η κατασκευή είναι ..βατή !

Ακόμη είναι $MT=3AC/8..MC=AC/2 \Rightarrow AT=\dfrac{AC}{8}$

οπότε το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο DAC

με διατέμνουσα την BPT

μας δίνει : $\dfrac{AP}{PD}\cdot \dfrac{DB}{BC}\cdot \dfrac{CT}{TA}=1 \Rightarrow \dfrac{AP}{PD}=..=\dfrac{2}{7}$

Φιλικά Γιώργος

#3

KARKAR έγραψε:Βαρύκεντρο ισοσκελούς.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές , με γνωστή τη βάση και το είναι το

βαρύκεντρό του . Γράφουμε τον κύκλο και την εφαπτομένη , η οποία τέμνει

τη διάμεσο στο και την πλευρά στο . α) Πώς θα κατασκευάσετε το τρίγωνο

ώστε να είναι $BT \perp AC$ ; β) Προσπαθήστε στην περίπτωση αυτή να βρείτε το λόγο : $\dfrac{AP}{PD}$

Καλημέρα Θανάση και Γιώργο. Καλημέρα σε όλους!

: Βαρύκεντρο ισοσκελούς.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

α) Ανάλυση: Έστω

η διάμεσος. Είναι $\displaystyle{BS = BD = \frac{a}{2}}$ κι επειδή $\displaystyle{BG = 2GM}$ , θα είναι $\displaystyle{BS = 2ST \Leftrightarrow }$ $\boxed{BT=\frac{3a}{4}}$

Κατασκευή: Ο κύκλος $\displaystyle{\left( {B,\frac{{3a}}{4}} \right)}$ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

Η

τέμνει τη μεσοκάθετο της

στην τρίτη κορυφή

του τριγώνου και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

β) $\displaystyle{BP \cdot BT = BD \cdot BC \Leftrightarrow BP = \frac{{2a}}{3}}$ , απ' όπου παίρνουμε $\displaystyle{SP = \frac{a}{6},PT = \frac{a}{{12}}}$

$\displaystyle{\frac{{AP}}{{PG}} = \frac{{PT}}{{SP}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{AG}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{2}{9} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{AP}{PD}=\frac{2}{7}}$

Βαρύκεντρο ισοσκελούς

Βαρύκεντρο ισοσκελούς

Re: Βαρύκεντρο ισοσκελούς

Re: Βαρύκεντρο ισοσκελούς

Μέλη σε σύνδεση