Διαλογισμός

KARKAR · #1

: Διαλογισμός.png (10.93 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Από το μέσο

της βάσης

, ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω τμήμα $MP\perp AC$ και

έστω

το μέσο του . Τα AN,BP

τέμνονται στο

. Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SN} , \dfrac{BS}{SP}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 12, 2017 1:14 pm
Διαλογισμός.pngΑπό το μέσο της βάσης , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω τμήμα $MP\perp AC$ και

έστω το μέσο του . Τα τέμνονται στο . Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SN} , \dfrac{BS}{SP}$

: Διαλογισμός.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 468 φορές

● Σύμφωνα με την θεϊκή καθετότητα, είναι $\displaystyle BP \bot AN.$

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SN}} = \frac{{A{P^2}}}{{P{N^2}}} = \frac{{{{(AM\sqrt 3 /2)}^2}}}{{{{(AM/4)}^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{AS}{AN}=12}$

● 'Εστω

η πλευρά του ισοπλεύρου. Με νόμο συνημιτόνων στο ABP,

όπου $AP=\dfrac{3a}{4},$ βρίσκω $\boxed{BP = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}}$ (1)

$\displaystyle A{B^2} - A{P^2} = B{S^2} - S{P^2} \Leftrightarrow {a^2} - \frac{{9{a^2}}}{{16}} = BP(BS - SP)\mathop = \limits^{(1)} \frac{{a\sqrt {13} }}{4}(BS - SP) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{7{a^2}}}{{16}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}(BS - SP) \Leftrightarrow$ $\boxed{BS - SP = \frac{{7a\sqrt {13} }}{{52}}}$ κι επειδή $\boxed{BS + SP = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle BS = \frac{{10a\sqrt {13} }}{{52}},SP = \frac{{3a\sqrt {13} }}{{52}},$ απ' όπου $\boxed{\frac{{BS}}{{SP}} = \frac{{10}}{3}}$

Επεξεργασία: Λύση στο δεύτερο ερώτημα, ώρα 4:45 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 12, 2017 1:14 pm
Διαλογισμός.pngΑπό το μέσο της βάσης , ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω τμήμα $MP\perp AC$ και

έστω το μέσο του . Τα τέμνονται στο . Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SN} , \dfrac{BS}{SP}$

1.Με $\displaystyle NT//AM \Rightarrow T$ μέσον της $\displaystyle GP$ και $\displaystyle \frac{{AS}}{{SN}} = \frac{{AG}}{{TN}} = 2\frac{{AG}}{{GM}}(1)$

Είναι, $\displaystyle PC = \frac{\alpha }{4} \Rightarrow \frac{{\left( {ABP} \right)}}{{\left( {PBC} \right)}} = \frac{{AP}}{{PC}} = 3 \Rightarrow \frac{{\left( {ABP} \right)}}{{2\left( {PBM} \right)}} = 3 \Rightarrow \frac{{\left( {ABP} \right)}}{{\left( {PBM} \right)}} = 6 \Rightarrow \frac{{AG}}{{GM}} = 6$

Έτσι από την $\displaystyle (1)$ $\displaystyle \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SN}} = 12}$

2.Στο τρίγωνο $\displaystyle PMC$ με διατέμνουσα $\displaystyle ASQ \Rightarrow \frac{{PN}}{{NM}} \cdot \frac{{MQ}}{{QC}} \cdot \frac{{AC}}{{AP}} = 1 \Rightarrow 1 \cdot \frac{{MQ}}{{QC}} \cdot \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{MQ}}{{QC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \boxed{MQ = \frac{{3a}}{{14}}}$ $\displaystyle \Rightarrow \boxed{BQ = \frac{{10a}}{{14}}}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle BPM$ με διατέμνουσα $\displaystyle SNQ \Rightarrow \frac{{BS}}{{SP}} \cdot \frac{{PN}}{{NM}} \cdot \frac{{QM}}{{QB}} = 1 \Rightarrow \frac{{BS}}{{SP}} \cdot 1 \cdot \frac{{QM}}{{QB}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{BS}}{{SP}} = \frac{{10}}{3}}$

: διαλογισμός.png (18.29 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές

Διαλογισμός

Διαλογισμός

Re: Διαλογισμός

Re: Διαλογισμός

Μέλη σε σύνδεση