Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1432
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Φεβ 13, 2018 11:25 am

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2423
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Κυρ Φεβ 18, 2018 2:14 pm

Λύση χωρίς λόγια:
Συνημμένα
three-cubes.png
three-cubes.png (19.38 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1432
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Φεβ 19, 2018 9:41 pm

Πολύ ωραία Γιώργο! Δεν έχω κάτι άλλο, ας πούμε αριθμοθεωρητικό, κατά νου, μοιάζει ότι πρέπει να δοκιμάσουμε 90 περιπτώσεις, όμως ο πίνακας κάνει εύκολες τις δοκιμές και με λίγη προσοχή δεν χάνουμε κάποια λύση. Άλλωστε οι πιο πολλές από τις περιπτώσεις είναι φανερό πως δεν δίνουν λύση. Ας προσθέσω δύο ακόμα ερωτήματα αφιερωμένα στο Γιώργο και τη Θεσσαλονίκη:

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 100x +10y +z=x^3+y^3+z^3 έχει
α) άπειρες λύσεις στους ακεραίους
β) πεπερασμένο πλήθος λύσεων στους θετικούς ακεραίους


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2423
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Τριψήφιοι ίσοι με το άθροισμα των κύβων των ψηφίων τους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Φεβ 21, 2018 1:59 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Δευ Φεβ 19, 2018 9:41 pm
Πολύ ωραία Γιώργο! Δεν έχω κάτι άλλο, ας πούμε αριθμοθεωρητικό, κατά νου, μοιάζει ότι πρέπει να δοκιμάσουμε 90 περιπτώσεις, όμως ο πίνακας κάνει εύκολες τις δοκιμές και με λίγη προσοχή δεν χάνουμε κάποια λύση. Άλλωστε οι πιο πολλές από τις περιπτώσεις είναι φανερό πως δεν δίνουν λύση. Ας προσθέσω δύο ακόμα ερωτήματα αφιερωμένα στο Γιώργο και τη Θεσσαλονίκη:

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 100x +10y +z=x^3+y^3+z^3 έχει
α) άπειρες λύσεις στους ακεραίους
β) πεπερασμένο πλήθος λύσεων στους θετικούς ακεραίους
Παύλο ο πίνακας μου έδωσε μία ωραία (;) ιδέα: τον δίνουμε στους μαθητές -- είτε όπως είναι, είτε χωρίς την επάνω γραμμή είτε αφαιρώντας και την επάνω γραμμή και την αριστερή στήλη (αυξάνοντας τον βαθμό δυσκολίας) -- και τους ρωτάμε τι παριστάνει, ακριβέστερα "αυτή είναι η λύση, βρείτε ποιο ήταν το πρόβλημα"! (Πάντως στο ΦΒ -- όπου επέλεξα τον μεσαίο βαθμό δυσκολίας -- δεν ενθουσίασε το κοινό...)

Όσον αφορά τα ωραία ερωτήματα που έθεσες παραπάνω:

α) Θέτοντας z=-y η εξίσωση γίνεται 100x+9y=x^3, άρα έχουμε απειρία λύσεων της μορφής (9m+1, 81m^3+27m^2-97m-11, -81m^3-27m^2+97m+11).

β) Από τις x^3-100x=(10y-y^3)+(z-z^3)\leq12+0=12, y^3-10y=(100x-x^3)+(z-z^3)\leq384+0=384, z^3-z=(100x-x^3)+(10y-y^3)\leq384+12=396 λαμβάνουμε x\leq10, y\leq7, z\leq7. [Ύστερα από σύντομη διερεύνηση της περίπτωσης x=10 διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις στους μη αρνητικούς ακεραίους από αυτές του πίνακα ... πλην των (10,0,1) & (10,0,0) και, βεβαίως, (0,0,1) & (0,0,0).]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες