Τιμή παράστασης

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τιμή παράστασης

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Παρ Αύγ 11, 2017 7:57 pm

Αν \displaystyle{P(x) = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x + 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)}

να βρεθούν οι α) P(5) ................. β) P(6)



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Τιμή παράστασης

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από nikkru » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:44 am

george visvikis έγραψε:Αν \displaystyle{P(x) = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(2x + 1)\pi }}{{4x}}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)}

να βρεθούν οι α) P(5) ................. β) P(6)


Οι γωνίες \displaystyle \frac{\pi }{{4x}} και \displaystyle \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}} είναι παραπληρωματικές , οπότε: \displaystyle \cos \frac{{(4x - 1)\pi }}{{4x}}}=-\cos \frac{\pi }{{4x}}}. Ομοίως: \displaystyle \cos \frac{{(2x + 1)\pi }}{{4x}}}=-\cos \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}},

Συνέπεια αυτών είναι: \displaystyle P(x)= \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{{4x}}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}} \right)=\left( \sin \frac{\pi }{{4x}}\sin \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}} \right)^2

Οι γωνίες \displaystyle \frac{\pi }{{4x}} , \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}} είναι συμπληρωματικές, έτσι:

\displaystyle \sin \frac{{(2x - 1)\pi }}{{4x}}= \cos \frac{\pi }{{4x}} και \displaystyle P(x)=\left( \sin \frac{\pi }{{4x}} \cos \frac{\pi }{{4x}} \right)^2=\frac{1}{4}\left( \sin \frac{\pi }{{2x}}  \right)^2.


Από τα παραπάνω έχουμε ότι:

α) \displaystyle P(5)=\frac{1}{4}\left( \sin \frac{\pi }{{10}}  \right)^2= \boxed{ \frac{3- \sqrt{5}}{32}} , ( αφού sin18^o= \frac{ \sqrt{5}-1}{4} ) και

β) \displaystyle P(6)=\frac{1}{4}\left( \sin \frac{\pi }{{12}}  \right)^2=\frac{\sin^2(45^o-30^o)}{4}= \boxed{ \frac{2-\sqrt{3}}{16}} .



Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης