Ελάχιστο για ύπαρξη

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την ελάχιστη από τις τιμές του

, για την οποία υπάρχουν αριθμοί y,z

, που ικανοποιούν την εξίσωση
x^2+2y^2+z^2 +xy-xz-yz =1

(

πραγματικοί).

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Να βρείτε την ελάχιστη από τις τιμές του , για την οποία υπάρχουν αριθμοί , που ικανοποιούν την εξίσωση

To

είναι πραγματικός;

Al.Koutsouridis · #3

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
To είναι πραγματικός;

Ναι όλοι οι αριθμοί είναι πραγματικοί.

Ορέστης Λιγνός · #4

Η απάντησή μου στο hide, λύση το απόγευμα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #5

Θέτοντας $a \equiv \cos (\pi / 8), b \equiv \sin (\pi / 8)$ κάνουμε τον μετασχηματισμό $Y \equiv ay - bz, Z \equiv by + az$ και η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle x^2 + \frac{3+\sqrt{2}}{2} Y^2 + \frac{3-\sqrt{2}}{2} Z^2 + x (aY + bZ - aZ + bY) = 1$

(γιατί $\displaystyle a^2 = \frac{\sqrt{2}+1}{2 \sqrt{2}}, b^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}, ab = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ).

Συμπληρώνοντας τα τετράγωνα έχουμε

$\displaystyle \frac{3+\sqrt{2}}{2} \left( Y + \frac{a+b}{3+\sqrt{2}} x \right)^2 + \frac{3-\sqrt{2}}{2} \left( Z - \frac{a-b}{3-\sqrt{2}} x \right)^2 + \frac{5}{7} x^2 = 1$

(χρησιμοποιώντας $\displaystyle a^2+b^2=1, ab = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ )

Έτσι, η ελάχιστη τιμή του

είναι $\displaystyle - \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Al.Koutsouridis έγραψε:Να βρείτε την ελάχιστη από τις τιμές του , για την οποία υπάρχουν αριθμοί , που ικανοποιούν την εξίσωση
( πραγματικοί).

Μετά την λύση του Δημήτρη δίνω μια πιο στοιχειώδη λύση.

Θεωρώντας την σχέση τριώνυμο ως προς

θα πρέπει η διακρίνουσα του να είναι μη αρνητική.

Δηλαδή $-7z^{2}+6zx-7x^{2}+8\geq 0$

Η τελευταία είναι τριώνυμο ως προς

με μεγιστοβάθμιο συντελεστή αρνητικό.
Ετσι θα πρέπει η διακρίνουσα του να είναι μη αρνητική.

Αυτή είναι $4(56-40x^{2})$

Από την τελευταία συνάγουμε ότι η ελάχιστη τιμή του

είναι $-\sqrt{\frac{7}{5}}$
καθώς και ότι η μέγιστη είναι $\sqrt{\frac{7}{5}}$

Θα περιγράψω και μία δεύτερη λύση εκτός φακέλου.
Η αρχική σχέση γράφεται

$(\dfrac{x+y}{\sqrt{2}})^{2}+(\dfrac{x-z}{\sqrt{2}})^{2}+(\dfrac{y-z}{\sqrt{2}})^{2}+y^{2}=1$
που μας δείχνει ότι είναι μια κλειστή επιφάνεια.

Ετσι σίγουρα το

παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Στα σημεία που παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή θα μπορώ να εκφράσω το

σαν συνάρτηση των y,z

Δηλαδή

Αντικαθιστούμε στην αρχική και παραγωγίζουμε ως προς

και μετά ως προς

( $f_{y}=f_{y}(y,z)$ είναι η μερική παράγωγος)

θα πάρουμε
$2ff_{y}+4y+f+yf_{y}-f_{y}z-z=0\wedge2ff_{z}+2z-f+yf_{z}-f_{z}z-y=0$

Εκεί που παίρνει μέγιστη η ελάχιστη τιμή θα είναι $f_{y}=0,f_{z}=0$

Αρα $4y+f-z=0\wedge 2z-f-y=0$

Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε

f=-7y,z=-3y

Αντικαθιστώντας στην αρχική βρίσκουμε $y=+_{-}\dfrac{1}{\sqrt{35}}$

οπότε αντικαθιστώντας παίρνουμε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του

Al.Koutsouridis · #7

Οι κ. Δημήτρης και Σταύρος ανέδειξαν το πως και από που μπορεί να δημιουργηθεί ένα τέτοιο πρόβλημα. Πιστεύω ο Ορέστης έκανε ότι ο κ.Σταύρος αρχικά, απλά άφησε αριθμητικό λάθος.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις του Μηχανικό-Μαθηματικού Μόσχας, 1989.

Ελάχιστο για ύπαρξη

Ελάχιστο για ύπαρξη

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Re: Ελάχιστο για ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση