Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 15, 2017 12:24 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες της ax^3+bx^2+cx+d=0 σε γεωμετρική πρόοδο είναι ac^3=db^3.
Ωραία η λύση του Θάνου. Δίνω μία διαφορετική:

Έστω p,q,r οι ρίζες με pq=r^2. Από Vieta

\displaystyle{ \frac {c}{a} = pq +qr+rp= r^2+qr+rp=r(r+q+p) = r\left (-\frac {b}{a} \right )} , άρα \boxed {c=-br} , οπότε

c^3=-b^3r^3=-b^3r^2r = -b^3(pq)r =-b^3  \left (-\frac {d}{a} \right ) και λοιπά.

Για το αντίστροφο, παρόμοια, αλλά το αφήνω γιατί οι πράξεις είναι πολλές.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 15, 2017 9:14 am

ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν δύο ρίζες της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 έχουν γινόμενο όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι ad^2=eb^2.


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 489
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Σάβ Απρ 15, 2017 2:53 pm

Θα ήθελα να δούμε και ασκήσεις εύρεσης του τύπου πολυωνύμου που πέφτουν και συχνά στον Αρχιμήδη.

Αν γίνεται και αν υπαρχει ας προστεθεί η προαπαιτούμενη θεωρία.

(Βλ. Αρχιμήδης 2012...)


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 15, 2017 3:35 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Θα ήθελα να δούμε και ασκήσεις εύρεσης του τύπου πολυωνύμου που πέφτουν και συχνά στον Αρχιμήδη.

Αν γίνεται και αν υπαρχει ας προστεθεί η προαπαιτούμενη θεωρία.

(Βλ. Αρχιμήδης 2012...)
Λύσε τις προηγούμενες, και θα έλθουμε σε αυτό που ζητάς. Με την σειρά τα πράγματα.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6003
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Απρ 17, 2017 4:16 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν δύο ρίζες της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 έχουν γινόμενο όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι ad^2=eb^2.
Ας είναι \displaystyle{k,l,m,n} οι ρίζες.

Είναι

\displaystyle{kl=mn,} (\displaystyle{\color{red}\maltese}) οπότε \displaystyle{(kl)^2=klmn=\frac{e}{a}.} (\displaystyle{\color{red}\maltese \maltese}).

Επίσης

\displaystyle{klm+lmn+mnk+nkl=-\frac{d}{a}\implies kl(m+n)+mn(k+l)=-\frac{d}{a}\stackrel{{\color{red}\maltese}}{\implies }kl(k+l+m+n)=-\frac{d}{a}\implies }

\displaystyle{\implies kl\left(-\frac{b}{a}\right)=-\frac{d}{a}\implies kl=\frac{d}{b}.}

Με αντικατάσταση στην (\displaystyle{\color{red}\maltese \maltese}) προκύπτει η ζητούμενη.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6003
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Απρ 18, 2017 7:10 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν δύο ρίζες της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 έχουν γινόμενο όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι ad^2=eb^2.
Και διαφορετικά, το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας

\displaystyle{(klm+lmn+mnk+nkl)^2-klmn(k+l+m+n)^2=(lm-nk)(mk-nl)(kl-mn)}

από όπου φαίνεται ότι η συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία.


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 06, 2017 10:05 am

ΑΣΚΗΣΗ 18

Αν οι εξισώσεις x^3+2ax^2+2bx+c=0 και x^2+ax+b=0 έχουν κοινή ρίζα, δείξτε c^2 +a^3c +b^3=3abc.


(Η άσκηση είναι απλή. Παλαιότερα γινόταν ολόκληρη θεωρία με αυτού του είδους τις ασκήσεις, οι οποίες λυνόντουσαν με την λεγόμενη "απαλοίφουσα")


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 06, 2017 4:36 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 10:05 am
ΑΣΚΗΣΗ 18

Αν οι εξισώσεις x^3+2ax^2+2bx+c=0 και x^2+ax+b=0 έχουν κοινή ρίζα, δείξτε c^2 +a^3c +b^3=3abc.


(Η άσκηση είναι απλή. Παλαιότερα γινόταν ολόκληρη θεωρία με αυτού του είδους τις ασκήσεις, οι οποίες λυνόντουσαν με την λεγόμενη "απαλοίφουσα")
Θέτοντας x^3+2ax^2+2bx+c=f(x) ,x^2+ax+b=g(x) και κάνοντας την διαίρεση έχουμε

f(x)=(x+a)g(x)+(b-a^{2})x+c-ab

1περίπτωση.a^{2}=b

τότε αφού έχουν κοινή ρίζα θα είναι αναγκαστικά c=ab

Κάνοντας αντικαταστάσεις εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η c^2 +a^3c +b^3=3abc.

σχόλιο .Αν ισχύουν οι a^{2}=b,c=ab τότε έχουν δύο κοινές ρίζες



2περίπτωση.a^{2}\neq b

Η κοινή ρίζα θα είναι το r=\dfrac{c-ab}{a^{2}-b}

Αν πάρουμε την g(r)=0 και κάνουμε τις πράξεις θα προκύψει η ζητούμενη.


σχόλιο Σε αυτή την περίπτωση αν ισχύει c^2 +a^3c +b^3=3abc τα πολυώνυμα έχουν ακριβώς μια κοινή ρίζα.


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Νοέμ 06, 2017 4:37 pm

Έστω x_0 μια κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων.Τότε, είναι

\displaystyle x_0^2 + a{x_0} + b = 0,

οπότε

\displaystyle x_0^3 + 2ax_0^2 + 2b{x_0} + c = 0 \Rightarrow {x_0}\left( {x_0^2 + a{x_0} + b} \right) + ax_0^2 + b{x_0} + c = 0 \Rightarrow ax_0^2 + b{x_0} + c = 0.

Επομένως, από τη σχέση \displaystyle x_0^2 =  - a{x_0} - b βρίσκουμε ότι

\displaystyle a\left( { - a{x_0} - b} \right) + b{x_0} + c = 0 \Rightarrow \left( {b - {a^2}} \right){x_0} = ab - c.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

\bullet Αν \displaystyle {b \ne {a^2}}, τότε είναι \displaystyle {x_0} = \frac{{ab - c}}{{b - {a^2}}}

και με αντικατάσταση στη σχέση \displaystyle x_0^2 + a{x_0} + b = 0 έχουμε ότι

\displaystyle {\left( {\frac{{ab - c}}{{b - {a^2}}}} \right)^2} + a\frac{{ab - c}}{{b - {a^2}}} + b = 0 \Rightarrow {\left( {ab - c} \right)^2} + a\left( {ab - c} \right)\left( {b - {a^2}} \right) + b{\left( {b - {a^2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow {a^2}{b^2} - 2abc + {c^2} + {a^2}{b^2} - {a^4}b - abc + {a^3}c + {b^3} - 2{a^2}{b^2} + {a^4}b = 0 \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow {c^2} + {a^3}c + {b^3} = 3abc.

\bullet Αν \displaystyle {b ={a^2}}, τότε υποχρεωτικά θα είναι και \displaystyle c = ab = {a^3}, οπότε

\displaystyle {c^2} + {a^3}c + {b^3} = 3{a^6} = 3abc

και η αποδεικτέα σχέση πάλι ισχύει.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 06, 2017 7:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 19

Αν η εξίσωση x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n=0 έχει ρίζες r_1, \, ... \, , r_n, δείξτε ότι

(1+r_1^2)(1+r_2^2)...(1+r_n^2)= (1-a_2+a_4-...)^2+ (a_1-a_3+a_5-...)^2


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Δευ Νοέμ 06, 2017 8:33 pm

Έστω \displaystyle P\left( x \right) = {x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_0} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {x - {r_k}} \right)} .

Παρατηρούμε ότι:

\displaystyle {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right) = {a_0} - {a_2} + {a_4} -  \cdots

και

\displaystyle {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right) = {a_1} - {a_3} + {a_5} -  \cdots .

Άρα,

\displaystyle \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + r_k^2} \right)}  = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {{r_k} - i} \right)} \left( {{r_k} + i} \right) = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {i - {r_k}} \right)} \left( { - i - {r_k}} \right) =

\displaystyle  = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {i - {r_k}} \right)}  \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\left( { - i - {r_k}} \right)}  = P\left( i \right)P\left( { - i} \right) = P\left( i \right)\overline {P\left( i \right)}  = {\left| {P\left( i \right)} \right|^2} =

\displaystyle  = {\left[ {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right)} \right]^2} + {\left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right)} \right]^2}

και το συμπέρασμα έπεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1421
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Νοέμ 06, 2017 9:57 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 10:05 am
ΑΣΚΗΣΗ 18

Αν οι εξισώσεις x^3+2ax^2+2bx+c=0 και x^2+ax+b=0 έχουν κοινή ρίζα, δείξτε c^2 +a^3c +b^3=3abc.



Αν x είναι μια κοινή ρίζα, τότε

0=x^3+2ax^2+2bx+c= x^3+2x(ax+b)+c=x^3+2x(-x^2)+c=-x^3+c, οπότε x^3=c και

x^2+ax+b=0\Rightarrow (x^2)^3+(ax)^3+b^3=3 x^2 (ax) b\Rightarrow c^2+a^3c+b^3=3abc


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 07, 2017 8:40 am

ΑΣΚΗΣΗ 19

Αν δύο ρίζες της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 έχουν άθροισμα όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι b^3+8a^2d=4abc


(δείτε την Άσκηση 17)


Άβαταρ μέλους
emouroukos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Τρί Νοέμ 07, 2017 1:12 pm

Ακολουθώντας το συμβολισμό του Θάνου στην Άσκηση 17:

Έστω k, \ell, m, n οι ρίζες της εξίσωσης. Υποθέτουμε ότι k +\ell = m+n . Τότε, από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι:

\displaystyle k + \ell  + m + n =  - \frac{b}{a} \Rightarrow k + \ell  = m + n =  - \frac{b}{{2a}},

\displaystyle k\ell  + km + kn + \ell m + \ell n + mn = \frac{c}{a} \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow \left( {k + \ell } \right)\left( {m + n} \right) + k\ell  + mn = \frac{c}{a} \Rightarrow {\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + k\ell  + mn = \frac{c}{a} \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow k\ell  + mn = \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}

και

\displaystyle k\ell m + \ell mn + mnk + nk\ell  =  - \frac{d}{a} \Rightarrow k\ell \left( {m + n} \right) + mn\left( {k + \ell } \right) =  - \frac{d}{a} \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}}\left( {k\ell  + mn} \right) =  - \frac{d}{a} \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}}\left( {\frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) =  - \frac{d}{a} \Rightarrow b\frac{{4ac - {b^2}}}{{8{a^2}}} = d \Rightarrow

\displaystyle  \Rightarrow {b^3} + 8{a^2}d = 4abc.

Το ζητούμενο δείχθηκε.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 07, 2017 2:28 pm

Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά για χάρη της πληρότητας της συλλογής. Είναι πολύ απλή άσκηση.

ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν μία ρίζα της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 είναι ίση με το άθροισμα των άλλων τριών, δείξτε ότι b^4+8a^2bd=4ab^2c+16a^3e


Edit: Έκανα διόρθωση στο αποδεικτέο. Ζητώ συγνώμη αν σας ταλαιπώρησα.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Νοέμ 07, 2017 10:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9273
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 07, 2017 5:56 pm

Άσκηση 21 ( κατάλληλη και για μαθητές )

Βρείτε εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού a , για τις οποίες το πολυώνυμο :

P(x)=ax^4-(a+2)x^2+a-1 , έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re:

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 07, 2017 10:16 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 5:56 pm
Άσκηση 21 ( κατάλληλη και για μαθητές )

Βρείτε εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού a , για τις οποίες το πολυώνυμο :

P(x)=ax^4-(a+2)x^2+a-1 , έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .
Οι ρίζες της δοθείσας είναι οι \pm \sqrt {r_1}, \, \pm \sqrt {r_2} όπου r_1, r_2 οι ρίζες της ay^2-(a+2)y+a-1 \, (*) . Οπότε για να έχουμε 4 διαφορετικές πραγματικές ρίζες πρέπει r_1\ne r_2 και r_1, r_2 >0.

Συνεπώς πρέπει η (*) να ικανοποιεί

1) a\ne 0 (δευτεροβάθμια)
2) Διακρίνουσα θετική, που μετά τις πράξεις είναι -3a^2+8a+4>0, ισοδύναμα μεταξύ των (4-\sqrt {28})/3, (4+\sqrt {28})/3
3) άθροισμα ριζών θετικό, άρα (a+2)/a>0, ισοδύναμα a<-2 ή a>0
4) γινόμενο ριζών θετικό, άρα (a-1)/a>0, ισοδύναμα a<0 ή a>1

Εύκολα βλέπουμε ότι συναληθεύουν για 1< a < (4+\sqrt {28})/3.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1421
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Νοέμ 07, 2017 10:18 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 2:28 pm
Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά για χάρη της πληρότητας της συλλογής.

ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν μία ρίζα της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 είναι ίση με το άθροισμα των άλλων τριών, δείξτε ότι 16a^3e+4ab^2c-b^4=8a^2bd;;


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 07, 2017 10:49 pm

rek2 έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 10:18 pm
16a^3e+4ab^2c-b^4=8a^2bd
Κώστα, έχεις δίκιο. 'Εκανα διόρθωση.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 10, 2017 10:24 pm

Για να κλείνει ας γράψω λύση.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 2:28 pm
ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν μία ρίζα της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 είναι ίση με το άθροισμα των άλλων τριών, δείξτε ότι b^4+8a^2bd=4ab^2c+16a^3e
Έχουμε r_1=r_2+r_3_+r_4 οπότε από Vieta είναι r_1=\frac {1}{2}(r_1+r_2+r_3_+r_4)= -\frac {b}{2a}.

Βάζοντας το r_1 αυτό πίσω στην εξίσωση, δίνει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης