Συμμετρική ανισότητα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Συμμετρική ανισότητα
Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς , δείξτε ότι ισχύει :
Προσθήκη του μη αρνητικούς με υπόδειξη Σταύρου Παπαδόπουλου
Προσθήκη του μη αρνητικούς με υπόδειξη Σταύρου Παπαδόπουλου
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Δευ Οκτ 17, 2016 9:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρική ανισότητα
Διoνύση, σωστά!
Ας θυμίσω όμως πως σύμφωνα με τις νέες οδηγίες που βάλαμε εδώ η πρώτη λύση που δίνεται στους φακέλους των διαγωνισμών Θαλή/Ευκλείδη πρέπει να χρησιμοποιεί σχολική ύλη και όχι ύλη Ολυμπιάδων. Για να μην αποθαρρύνουμε τους μαθητές που δεν γνωρίζουν την Ολυμπιακή ύλη.
Δεν πειράζει για τώρα. Μην την σβήσεις αλλά ας δώσει και κάποιος μια λύση χωρίς χρήση ολυμπιακών ανισοτήτων.
Ας θυμίσω όμως πως σύμφωνα με τις νέες οδηγίες που βάλαμε εδώ η πρώτη λύση που δίνεται στους φακέλους των διαγωνισμών Θαλή/Ευκλείδη πρέπει να χρησιμοποιεί σχολική ύλη και όχι ύλη Ολυμπιάδων. Για να μην αποθαρρύνουμε τους μαθητές που δεν γνωρίζουν την Ολυμπιακή ύλη.
Δεν πειράζει για τώρα. Μην την σβήσεις αλλά ας δώσει και κάποιος μια λύση χωρίς χρήση ολυμπιακών ανισοτήτων.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συμμετρική ανισότητα
Για να πω την αλήθεια... δεν ξέρω ποια είναι η σχολική ύλη!Demetres έγραψε: ...η πρώτη λύση που δίνεται στους φακέλους των διαγωνισμών Θαλή/Ευκλείδη πρέπει να χρησιμοποιεί σχολική ύλη και όχι ύλη Ολυμπιάδων.
Houston, we have a problem!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Συμμετρική ανισότητα
Είναι άμεση συνέπεια της προφανούςKARKAR έγραψε:Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς , δείξτε ότι ισχύει :
Προσθήκη του μη αρνητικούς με υπόδειξη Σταύρου Παπαδόπουλου
αφού γίνουν οι πράξεις.
Μάγκος Θάνος
Re: Συμμετρική ανισότητα
Δημήτρη , πράγματι , η εν λόγω ανισότητα δεν διδάσκεται στο Λύκειο , όμως είναι απελπιστικά
περιοριστικό να μην ανεβάζει κανείς άσκηση της οποίας η λύση στηρίζεται στην ανισότητα ΑΜ=ΓM .
Βέβαια η στοιχειώδης επίλυση είναι ευκταία , αλλά είμαστε στο φάκελο των Seniors ...
Αλλιώς παραβίασα κι εγώ τον κανονισμό , αφού η κατασκευή στηρίχθηκε σε μη λυκειακή ύλη
περιοριστικό να μην ανεβάζει κανείς άσκηση της οποίας η λύση στηρίζεται στην ανισότητα ΑΜ=ΓM .
Βέβαια η στοιχειώδης επίλυση είναι ευκταία , αλλά είμαστε στο φάκελο των Seniors ...
Αλλιώς παραβίασα κι εγώ τον κανονισμό , αφού η κατασκευή στηρίχθηκε σε μη λυκειακή ύλη
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συμμετρική ανισότητα
Είναι:
Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν
ή ή ή
όπου τυχαίος.
Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή αν και μόνο αν
ή ή ή
όπου τυχαίος.
τελευταία επεξεργασία από emouroukos σε Τρί Οκτ 18, 2016 9:23 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διορθώθηκε η περίπτωση της ισότητας.
Λόγος: Διορθώθηκε η περίπτωση της ισότητας.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Συμμετρική ανισότητα
Πάντως και στις επίσημες λύσεις Θαλή-Ευκλείδη η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ χρησιμοποιείται!KARKAR έγραψε:... η λύση στηρίζεται στην ανισότητα ΑΜ=ΓM .
Π.χ. στην απάντηση του 3ου θέματος του Ευκλείδη Β' Λυκείου 2007, στην 1η σελίδα εδώ.
Houston, we have a problem!
Re: Συμμετρική ανισότητα
Για να γίνει διευκρίνηση περί της ύλης.
Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου είναι εκτός ύλης για τον Θαλή και τον Ευκλείδη.
Πριν το 2008 ο κανονισμός ήταν διαφορετικός για τον Ευκλείδη.
Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου είναι εκτός ύλης για τον Θαλή και τον Ευκλείδη.
Πριν το 2008 ο κανονισμός ήταν διαφορετικός για τον Ευκλείδη.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συμμετρική ανισότητα
KARKAR έγραψε:Για τους μη αρνητικούς πραγματικούς , δείξτε ότι ισχύει :
Προσθήκη του μη αρνητικούς με υπόδειξη Σταύρου Παπαδόπουλου
Αν προφανώς είναι αληθής
Με και διαιρώντας με αρκεί να αποδείξουμε ισοδύναμα
που είναι αληθής αφού με (εφαρμογή σχολικού)
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρική ανισότητα
Θανάση, σιγά σιγά θα συνηθίσουμε που πρέπει να μπαίνουν.KARKAR έγραψε:Δημήτρη , πράγματι , η εν λόγω ανισότητα δεν διδάσκεται στο Λύκειο , όμως είναι απελπιστικά
περιοριστικό να μην ανεβάζει κανείς άσκηση της οποίας η λύση στηρίζεται στην ανισότητα ΑΜ=ΓM .
Βέβαια η στοιχειώδης επίλυση είναι ευκταία , αλλά είμαστε στο φάκελο των Seniors ...
Αλλιώς παραβίασα κι εγώ τον κανονισμό , αφού η κατασκευή στηρίχθηκε σε μη λυκειακή ύλη
Η συγκεκριμένη ανισότητα είναι απλή εφαρμογή της ΑΜ-ΓΜ. Οπότε θα έπρεπε να μπει στο Προχωρημένο Επίπεδο των Juniors επειδή για τον Αρχιμήδη Junior αναγκαστικά πρέπει να μπορούν να λύνουν τέτοιες ασκήσεις. Για πιο δύσκολη εφαρμογή της ΑΜ-ΓΜ (π.χ. κάποια που χρειάζεται να την εφαρμόσουμε 2-3 φορές ή να κάνουμε και κάποια μη προφανή αντικατάσταση) την βάζουμε στον φάκελο Αρχιμήδη Senior κ.τ.λ.
Μιας και ήταν όμως αφορμή για να ανοίξουμε συζήτηση ας την αφήσουμε εδώ. Θα μπορούσε κάλλιστα να μπει και στον Ευκλείδη με προτεινόμενη λύση αυτήν που έδωσε ο Μουρούκος ή ο Τσουρακάκης. Ο μόνος λόγος που ίσως θα ήταν κακή για Ευκλείδη είναι ότι όσοι ήδη ασχολήθηκαν με Ολυμπιάδες θα αποκτούσαν σημαντικότατο πλεονέκτημα.
Δεν σε αδικώ! Ας μείνουμε στο όχι Cauchy-Schwarz και όχι ΑΜ-ΓΜ. Αλλά ναι στις απλές μορφές όπως π.χ. η οποία είτε υπάρχει αυτούσια σε σχολικό βιβλίο είτε όχι είναι άμεση από την .Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Για να πω την αλήθεια... δεν ξέρω ποια είναι η σχολική ύλη!
Re: Συμμετρική ανισότητα
Αφού δόθηκαν οι εξηγήσεις και αφού εκφράσω τα συγχατητήριά μου για τη λύση Τσουρακάκη ,
μια "εφφετζίδικη" : Αν κάποιος από τους είναι μηδέν , προφανές . Αν θετικοί ,
από ανισότητα Αρμονικού -Αριθμητικού μέσου , έχουμε :
, που κάνοντας πράξεις καταλήγει στη ζητούμενη ...
μια "εφφετζίδικη" : Αν κάποιος από τους είναι μηδέν , προφανές . Αν θετικοί ,
από ανισότητα Αρμονικού -Αριθμητικού μέσου , έχουμε :
, που κάνοντας πράξεις καταλήγει στη ζητούμενη ...
Re: Συμμετρική ανισότητα
Demetres έγραψε:
Μιας και ήταν όμως αφορμή για να ανοίξουμε συζήτηση ας την αφήσουμε εδώ. Θα μπορούσε κάλλιστα να μπει και στον Ευκλείδη με προτεινόμενη λύση αυτήν που έδωσε ο Μουρούκος ή ο Τσουρακάκης. Ο μόνος λόγος που ίσως θα ήταν κακή για Ευκλείδη είναι ότι όσοι ήδη ασχολήθηκαν με Ολυμπιάδες θα αποκτούσαν σημαντικότατο πλεονέκτημα.
Ας μην ξεχνάμε και την επίσης στοιχειώδη λύση του Θάνου ( )
Απλώς του Βαγγέλη είναι πιο αναλυτική
Νίκος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρική ανισότητα
Doloros έγραψε:Demetres έγραψε:
Μιας και ήταν όμως αφορμή για να ανοίξουμε συζήτηση ας την αφήσουμε εδώ. Θα μπορούσε κάλλιστα να μπει και στον Ευκλείδη με προτεινόμενη λύση αυτήν που έδωσε ο Μουρούκος ή ο Τσουρακάκης. Ο μόνος λόγος που ίσως θα ήταν κακή για Ευκλείδη είναι ότι όσοι ήδη ασχολήθηκαν με Ολυμπιάδες θα αποκτούσαν σημαντικότατο πλεονέκτημα.
Ας μην ξεχνάμε και την επίσης στοιχειώδη λύση του Θάνου ( )
Απλώς του Βαγγέλη είναι πιο αναλυτική
Νίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες