Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7644
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Αύγ 01, 2017 12:41 pm

Αν a,b μη αρνητικοί ακέραιοι με a+b \leqslant 6, τότε ορίζουμε \displaystyle{ T(a,b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.} Έστω S το άθροισμα όλων των T(a,b) ώστε a,b μη αρνητικοί ακέραιοι με a+b \leqslant 6.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του S με το 1000.

Πηγή: ΑΙΜΕ Ι 2017, Άσκηση 7



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1170
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Άθροισμα γινομένων διωνυμικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Αύγ 03, 2017 8:01 pm

Demetres έγραψε:Αν a,b μη αρνητικοί ακέραιοι με a+b \leqslant 6, τότε ορίζουμε \displaystyle{ T(a,b) = \binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{a+b}.} Έστω S το άθροισμα όλων των T(a,b) ώστε a,b μη αρνητικοί ακέραιοι με a+b \leqslant 6.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του S με το 1000.

Πηγή: ΑΙΜΕ Ι 2017, Άσκηση 7
Λόγω της γνωστής ιδιότητας \displaystyle \binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}, είναι \displaystyle \binom{6}{a+b}=\binom{6}{6-a-b}.

Έστω λοιπόν 6-a-b=c και τότε \displaystyle T(a,b)=\binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{c}, με a+b+c=6.

Έστω ένας πίνακας 6 \times 3.

Τότε το δοσμένο άθροισμα S εκφράζει τον αριθμό των τρόπων που μπορούμε να επιλέξουμε 6\, (=a+b+c) κελιά από τα 18 του πίνακα, αλλά μετρώντας τα ανά στήλη (επιλέγουμε aαπό την πρώτη στήλη, b από την δεύτερη και c από την τρίτη).

Έτσι, \displaystyle S=\binom{18}{6}=18564, οπότε η απάντηση στο πρόβλημα είναι \boxed{564}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης