Επαναστασιακή

Panagiotis11 · #1

Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $\alpha =7^{1821}$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Παρατηρούμε ότι $7^4\equiv 1 \pmod{100}$

Επομένως:

$(7^4)^{455}\equiv 1^{455} \pmod{100}\Rightarrow 7^{1820}\equiv 1 \pmod{100}\Rightarrow 7^{1821}\equiv 7 \pmod{100}$

Επομένως τα δύο τελευταία ψηφία του $7^{1821}$ είναι

.

harrisp · #3

Panagiotis11 έγραψε:Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού $\alpha =7^{1821}$ .

Μάλλον δεν έγραφα μόνο εγώ Ιστορία σήμερα

!

#4

Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

matha έγραψε:Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού.

Στη θεωρία αριθμών δεν είμαι πολύ δουλεμένος, αλλά θα κάνω μια προσπάθεια. Σας παρακαλώ να μην με αρχίσετε στο ψιλό...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

harrisp · #6

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
matha έγραψε:Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού.
Στη θεωρία αριθμών δεν είμαι πολύ δουλεμένος, αλλά θα κάνω μια προσπάθεια. Σας παρακαλώ να μην με αρχίσετε στο ψιλό...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Τελειώνει σε .

Νικόλα καλησπέρα!

Πώς ακριβώς το έλυσες;

#7

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
matha έγραψε:Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού.
Στη θεωρία αριθμών δεν είμαι πολύ δουλεμένος, αλλά θα κάνω μια προσπάθεια. Σας παρακαλώ να μην με αρχίσετε στο ψιλό...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Τελειώνει σε .

Νικόλα, φαντάζομαι πως καταλαβαίνεις ότι όταν η εκφώνηση ζητάει να βρούμε κάτι, η παράθεση ενός ξερού αποτελέσματος δε σημαίνει απολύτως τίποτα. Δείξε μας τη δουλειά σου για να δούμε τι έκανες.

Ορέστης Λιγνός · #8

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
matha έγραψε:Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού.
Στη θεωρία αριθμών δεν είμαι πολύ δουλεμένος, αλλά θα κάνω μια προσπάθεια. Σας παρακαλώ να μην με αρχίσετε στο ψιλό...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Τελειώνει σε .

Νικόλα γεια σου.

Είναι σίγουρο ότι κάνεις ΛΑΘΟΣ.

Μπορείς να με διαψεύσεις, αλλά ΧΩΡΙΣ την χρήση του Wolframalpha ;

Τότε μόνο θα με πείσεις, ότι την έλυσες ...

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Νικόλα καλησπέρα!

Πώς ακριβώς το έλυσες;

Είναι λάθος, έτσι;

Παρεμπιπτόντως, η λύση δεν είναι μαθηματική.

Παρατήρησα πως 7^8

τελειώνει σε 801

, $7^{12}$ τελειώνει σε 201

, $7^{16}$ τελειώνει σε 601

κλπ.

Άρα, το $7^{1820}$ τελειώνει σε 001

. Αν το πολλαπλασιάσουμε με το

, παίρνουμε 007

.

Επαναλαμβάνω, επειδή δεν είναι μαθηματική λύση, μη θυμώσετε μαζί μου!

JimNt. · #10

matha έγραψε:Ας βρούμε και τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού.

$7^{1821}$ . Από Euler

$7^{1821} \equiv 7^{221} \mod 1000$ . Είναι $7^{13} \equiv 407 \mod 1000$ . Συνεπώς, $(7^{13})^{17} \equiv 407^{17} \mod 1000$ . Παίρνουμε $407^2\cdot \cdot \cdot 407^2$ (8 φορές) $\cdot 407$ . Όμως τα τρία τελευταία ψηφία των 407^2

είναι

. Επομένως, έχουμε $649^2 \cdot \cdot 649^2$ (4 φορές) $\cdot 407$ . Tα τρία τελευταία ψηφία των 649^2

είναι

. Το γινόμενο γίνεται $201^4 \cdot 407$ . Aπό όπου η παρατήρηση του Νικόλα επαληθεύεται. (Η λύση δεν είναι προφανώς πλήρης, αφού δεν μπορούμε να αποφύουμε μερικές πράξεις με τριψήφιους)

#11

Ας βρούμε τα 4 τελευταία ψηφία. Αρκεί να βρούμε τα 2 τελευταία ψηφία του αριθμού $A=\dfrac{7^{1821}-7}{100}.$

$A=\dfrac{7(7^{1820}-1)}{100}=\dfrac{7(2401^{455}-1)}{100}=\dfrac{7(2401-1)(2401^{454}+...+2401+1)}{100}$

οπότε

$A=7\cdot24\cdot(2401^{454}+...+2401+1).$ Όμως $2401\equiv 1(\mod 100).$

Επομένως

$A\equiv 168\cdot 455 (\mod 100)$ ή $A\equiv 40(\mod 100).$

Άρα τα 4 τελευταία ψηφία είναι 4007.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #12

JimNt. έγραψε:Η λύση δεν είναι προφανώς πλήρης

Αυτό, το ξέρω. Από ό,τι βλέπω από τη λύση σου, δεν είναι δικαιολογημένη καθόλου.

Σημείωση: Λόγω παρεξήγησης, εξηγώ ότι εννοώ η δικιά μου δεν είναι δικαιολογημένη! Νόμισα αρχικά πως το σχόλιο του JimNt. ήταν για εμένα!

#13

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Επαναλαμβάνω, επειδή δεν είναι μαθηματική λύση, μη θυμώσετε μαζί μου!

Η απορία μου είναι ότι αφού ΞΕΡΕΙΣ ότι ο "συλλογισμός" είναι εκτός τόπου και χρόνου, γιατί κάνεις τον κόπο να τον γράψεις. Για να χάνουμε το καιρό μας διαβάζοντας αμετροέπειες;

Δεν φαίνεται να παίρνεις τα μηνύματα που σου δίνουμε, γι' αυτό γράφεις ό,τι μα ό,τι σου έρθει στον νου.

Έλεος πια!

Θα επαναλάβω με κοπή/αντιγραφή αυτό που έγραψα εδώ με την ελπίδα ότι κάποτε θα το καταλάβεις.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Έχεις μία τάση να γράφεις ότι σου έρθει στον νου, είτε το σκέφτηκες είτε όχι, είτε είναι σωστό είτε όχι. Καλή ώρα το παραπάνω είναι ένα από τα παραδείγματα αυτής της νοοτροπίας.
...
Η συμβουλή μου είναι η ίδια με αυτή που τόσο σοφά σου έγραψε ο Γιώργος ο Ρίζος εδώ

Ορέστης Λιγνός · #14

Έκανα λάθος (εσκεμμένα) που νόμισα ότι είναι λάθος η λανθασμένη λύση του Νικόλα.

Πράγματι, ο αριθμός τελειώνει σε 007

, όπως ωραία απέδειξε ο κ. Παύλος

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

Γράφω την λύση που στηρίζεται στην ιδέα του Νικόλα.
Θα το κάνω όσο πιο στοιχειώδες γίνεται.

Το μόνο που χρειάζομαι είναι ότι

$(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+b^{2}k$

όπου τα $a,b,n\geq 1$ φυσικοί και το

φυσικός που εξαρτάται από αυτούς.
(προκύπτει άμεσα από το διωνυμικό ανάπτυγμα)

Εχουμε $7^{2}=50-1,7^{4}=(50-1)^{2}=2000+401$

Είναι 1820=4.455

Αρα $A=7^{1820}=(7^{4})^{455}=(401+2000)^{455}=401^{455}+m1000$

Αλλά $401^{455}=(1+400)^{455}=1+455.400+k400^{2}=1+91.5.400+k400^{2}=1+r1000$

Τελικά A=1+1000(r+m)

Οπότε $7^{1821}=7A=7+1000.7(r+m)$

που δείχνει ότι τα τρία τελευταία ψηφία του αριθμού είναι 007

Επαναστασιακή

Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Re: Επαναστασιακή

Μέλη σε σύνδεση