Απλή!

JimNt. · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες (a,b,c)

θετικών ακεραίων ώστε οι 5a+2b,2a+5b, a+b+3

, να είναι τέλεια τετράγωνα. Για μαθητές.

Ορέστης Λιγνός · #2

JimNt. έγραψε:Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων ώστε οι , να είναι τέλεια τετράγωνα. Για μαθητές.

Καλησπέρα!

Έστω $5a+2b=x^2 \, (1) , \, 2a+5b=y^2 \, (2), \, a+b+3=z^2 \, (3), x,y,z \in \mathbb{N}$ .

Με πρόσθεση των (1), (2) παίρνουμε $a+b=\dfrac{x^2+y^2}{7}$ , και με αντικατάσταση στην (3) παίρνουμε x^2+y^2+21=7z^2

.

Άρα,

.

Όμως, ο

είναι πρώτος της μορφής 4k+3

και διαιρεί το άθροισμα δύο τετραγώνων, άρα 7/x

και

.

Έτσι, $x=7m, \, y=7n$ .

Με αντικατάσταση, $z^2=7(m^2+n^2)+3 \equiv 3(\bmod 7)$ , άτοπο, αφού το

δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο $(\bmod 7)$ .

Άρα, δεν υπάρχουν $a,b,c \in \mathbb{N}$ που ικανοποιούν το ζητούμενο.

JimNt. · #3

Απλή!

Απλή!

Re: Απλή!

Re: Απλή!

Μέλη σε σύνδεση