Υπέροχη Διοφαντική

JimNt. · #1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη πρώτων (p,q)

που ικανοποιούν την p^3-p^2-p=2q^2+3q

.
ΕDIT: Παράληψη στοιχείου

harrisp · #2

Λίγο σύντομα.

Την φέρνουμε στην εξής μορφή.

(p^2-p-1)=q(2q+3)

, αρα ή

δηλ.

που όμως εύκολα βλέπουμε οτι δεν δίνει λυσεις και ή p|2q+3

δηλαδή

και $q=\dfrac {rp-3}{2}$ .

Αντικαθιστούμε και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια εξισωση δεύτερου βαθμούς ως προς

(

) και να αποδείξουμε οτι η διακρινουσα δεν ειναι τέλειο τετράγωνο.

Η Διακρινουσα τωρα ειναι: k^4+4k^2-24k+20

και αν

δεν ειναι τέλειο τετραγωνο.

Τωρα περιπτώσεις με το χέρι και βρίσκουμε την μοναδική λυση (p,q)=(13,31)

.

JimNt. · #3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Λίγο σύντομα.

Την φέρνουμε στην εξής μορφή.

, αρα ή δηλ. που όμως εύκολα βλέπουμε οτι δεν δίνει λυσεις και ή δηλαδή και $q=\dfrac {rp-3}{2}$ .

Αντικαθιστούμε και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε μια εξισωση δεύτερου βαθμούς ως προς () και να αποδείξουμε οτι η διακρινουσα δεν ειναι τέλειο τετράγωνο.

Η Διακρινουσα τωρα ειναι: και αν δεν ειναι τέλειο τετραγωνο.

Τωρα περιπτώσεις με το χέρι και βρίσκουμε την μοναδική λυση .

Μπορούμε να δείξουμε στο τελευταίο ότι για $k\ge6$ , (k^2+2)^2>D>(k^2)^2

$\Leftrightarrow$ k^4+4k^2-24k+20=(k^2+1)^2

$\Leftrightarrow$ 2k^2-24k+19=0

, που όμως δεν έχει ακέραιες λύσεις, Επομένως, $k\le5$ ....

Υπέροχη Διοφαντική

Υπέροχη Διοφαντική

Re: Υπέροχη Διοφαντική

Re: Υπέροχη Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση