Σελίδα 1 από 1

Χειμωνιάτικη !

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2017 11:20 pm
από JimNt.
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) , με (a,b)=1 , ώστε \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2} \in \mathbff{Z^+}. (Άλλαξα την εκφώνηση για να είναι χαμηλότερης δυσκολίας).
Ας αφεθεί για μαθητές μέχρι τις 15/1

Re: Χειμωνιάτικη !

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 1:44 pm
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Καλημέρα Δημήτρη. Δεν έχετε και εσείς σχολειο εεε; ;)

Επειδη την εχω δει την ασκηση στο AoPS θα βάλω απλά ενα hint

Χρήση θεωρήματος..... Zsigmondy ( :D )

Re: Χειμωνιάτικη !

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 9:10 pm
από thrassos
Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει
a^2+b^2|ab(a+b). Όμως, (ab,a^2+b^2)=1 άρα a^2+b^2|a+b από όπου συνεπάγεται πως μοναδική λύση είναι η
(a,b)=(1,1).
Υ.Γ η απόδειξη του (ab,a^2+b^2) είναι άμεση αν υποθέσουμε ότι \exists p ,όπου p πρώτος, τέτοιος ώστε (ab,a^2+b^2)=p. Τότε για να ισχύει αυτό θα πρέπει p|a και p|b πράγμα άτοπο καθώς (a,b)=1.

Φιλικά,
Θράσος

Re: Χειμωνιάτικη !

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 9:12 pm
από JimNt.
thrassos έγραψε:Και αφού ο χιονιάς καλά κρατεί και τα σχολεία θα παραμείνουν και αύριο κλειστά με παίρνει να παραθέσω την σκέψη μου για το πρόβλημα αυτό.
Αρχικά, παρατηρούμε ότι a^2+b^2|a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2) άρα έπεται ότι αν a^2+b^2|a^3+b^3 τότε θα πρέπει
a^2+b^2|ab(a+b). Όμως, (ab,a^2+b^2)=1 άρα a^2+b^2|a+b από όπου συνεπάγεται πως μοναδική λύση είναι η
(a,b)=(1,1).
Υ.Γ η απόδειξη του (ab,a^2+b^2) είναι άμεση αν υποθέσουμε ότι \exists p ,όπου p πρώτος, τέτοιος ώστε (ab,a^2+b^2)=p. Τότε για να ισχύει αυτό θα πρέπει p|a και p|b πράγμα άτοπο καθώς (a,b)=1.

Φιλικά,
Θράσος

:coolspeak:

Re: Χειμωνιάτικη !

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 12:09 am
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Και με Zsigmondy . . .

Έστω p ο πρωτος που διαίρει το a^2+b^2 και οχι το a+b.

Επεται εύκολα οτι θα πρεπει να διαίρει το ab δηλαδή ή το a ή το b. Όμως αναγκαστικά θα διαιρει και τους δυο, άτοπο αφου (a,b)=1

Re: Χειμωνιάτικη !

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 3:24 pm
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ