Πρώτοι!

JimNt. · #1

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών πρώτων (p,q)

, ώστε $\frac{(5^p-2^p)(5^q-2^q)}{pq} ∈ ℕ$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θεωρούμε λόγω συμμετρίας πως $p\leq q$ .

Προφανώς θα πρέπει να ισχύει ότι p|(5^p-2^p)(5^q-2^q)

Το

είναι περιττό, άρα $p\geq 3$

Θεωρούμε αρχικά πως p>3

.

Από το μικρό θεώρημα του Fermat

προκύπτει ότι $5^p \equiv 5 \mod p$ και ότι $2^p \equiv 2 \mod p$ , άρα $5^p-2^p \equiv 5-2 \mod p$ .

Άρα αν p|(5^p-2^p)

, τότε

, που είναι άτοπο, καθώς p>3

.

Συνεπώς $p|(5^q-2^q)\Leftrightarrow 5^q \equiv 2^q \mod p$ (1)

Όμως πάλι από το μικρό θεώρημα του Fermat

συμπεραίνουμε ότι: $5^{p-1} \equiv 2^{p-1} \mod p$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι: $5^{(p-1, q)} \equiv 2^{(p-1, q)} \mod p$

Όμως επειδή p-1<q

και

πρώτος, προκύπτει ότι (p-1, q)=1

, άρα $5 \equiv 2 \mod p$ , άτοπο καθώς p>3

.

Αν

, τότε

Αν

, όμοια με την παραπάνω περίπτωση προκύπτει ότι q|(5^3-2^3)

, άρα

Η περίπτωση q=3

επίσης εγκρίνεται.

Άρα όλες οι λύσεις είναι:

(p, q)=(3, 3), (3, 13), (13, 3)

JimNt. · #3

Πρώτοι!

Πρώτοι!

Re: Πρώτοι!

Re: Πρώτοι!

Μέλη σε σύνδεση