Σύνθετος!
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνθετος!
Την καλησπέρα μου στον Ορέστη.Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί , ώστε ο αριθμός να είναι σύνθετος.
Ένας τέτοιος αριθμός είναι ο που διαιρείται με το . Επίσης, αφού από το μικρό Fermat είναι , εύκολα βλέπουμε ότι οι αριθμοί
είναι πολλαπλάσια του .
Άλλη τέτοια οικογένεια είναι η που είναι πολλαπλάσια του . Η αρχή γίνεται από τον , και συνεχίζουμε ως άνω.
Φιλικά,
Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Νοέμ 29, 2016 11:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Σύνθετος!
Κύριε Μιχάλη καλησπέρα.Mihalis_Lambrou έγραψε:Την καλησπέρα μου στον Ορέστη.Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί , ώστε ο αριθμός να είναι σύνθετος.
Ένας τέτοιος αριθμός είναι ο που διαιρείται με το . Επίσης, αφού από το μικρό Fermat είναι , εύκολα βλέπουμε ότι οι αριθμοί
είναι πολλαπλάσια του .
Φιλικά,
Μιχάλης
Ίδια λύση έχω και εγώ.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Σύνθετος!
Λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat έχουμε
Άρα τα υπόλοιπα των δυνάμεων του όταν διαιρεθούν διά επαναλαμβάνονται κάθε το πολύ βήματα (για την ακρίβεια ακριβώς βήματα λόγω του ότι , βλέπε παρακάτω).
Συνεπώς αν διαιρέσουμε το με το και ο αριθμός διαιρείται με το τότε έχουμε βρει απειρία τέτοιων δυνάμεων.
Παρατηρούμε ότι κι έτσι όλοι οι αριθμοί της μορφής διαιρούνται με το άρα είναι σύνθετοι.
Ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο όπου πρώτος, ονομάζεται τάξη του και συμβολίζεται με . Προφανώς λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat αποκλείεται ο αριθμός αυτός να ξεπεράσει τον αριθμό αφού αυτός έχει την παραπάνω ιδιότητα. Αποδεικνύεται ότι . Συνεπώς αν θέλουμε να βρούμε την τάξη ενός αριθμού αρκεί να την αναζητήσουμε ανάμεσα στους διαιρέτες του . π.χ. στο παράδειγμά μας επειδή άρα κι επειδή άρα τελικά ). Η έννοια της τάξης γενικεύεται και στην περίπτωση που ο αριθμός δεν είναι πρώτος και τότε κάνουμε χρήση του θεωρήματος του Euler και την αντίστοιχης συνάρτησης Euler.
Edit: Με πρόλαβε ο κ. Μιχάλης παραπάνω με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο και την αντίστοιχη μικρή θεωρία για την τάξη ενός αριθμού στο τέλος.
Αλέξανδρος
Άρα τα υπόλοιπα των δυνάμεων του όταν διαιρεθούν διά επαναλαμβάνονται κάθε το πολύ βήματα (για την ακρίβεια ακριβώς βήματα λόγω του ότι , βλέπε παρακάτω).
Συνεπώς αν διαιρέσουμε το με το και ο αριθμός διαιρείται με το τότε έχουμε βρει απειρία τέτοιων δυνάμεων.
Παρατηρούμε ότι κι έτσι όλοι οι αριθμοί της μορφής διαιρούνται με το άρα είναι σύνθετοι.
Ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο όπου πρώτος, ονομάζεται τάξη του και συμβολίζεται με . Προφανώς λόγω του μικρού θεωρήματος του Fermat αποκλείεται ο αριθμός αυτός να ξεπεράσει τον αριθμό αφού αυτός έχει την παραπάνω ιδιότητα. Αποδεικνύεται ότι . Συνεπώς αν θέλουμε να βρούμε την τάξη ενός αριθμού αρκεί να την αναζητήσουμε ανάμεσα στους διαιρέτες του . π.χ. στο παράδειγμά μας επειδή άρα κι επειδή άρα τελικά ). Η έννοια της τάξης γενικεύεται και στην περίπτωση που ο αριθμός δεν είναι πρώτος και τότε κάνουμε χρήση του θεωρήματος του Euler και την αντίστοιχης συνάρτησης Euler.
Edit: Με πρόλαβε ο κ. Μιχάλης παραπάνω με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο και την αντίστοιχη μικρή θεωρία για την τάξη ενός αριθμού στο τέλος.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνθετος!
Ορέστη, όσο έγραφες πρόσθεσα στο προηγούμενο ποστ μου και άλλη τέτοια οικογένεια. Τα μηνύματα διασταυρώθηκαν.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Σύνθετος!
Ας το γενικεύσουμε.
Έστω πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί με . Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα για τα οποία ο είναι σύνθετος.
Έστω πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί με . Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα για τα οποία ο είναι σύνθετος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύνθετος!
Έστω πρώτος διαιρέτης του . Τότε ο δεν διαιρεί τον αφού οπότε . ΆραDemetres έγραψε:Ας το γενικεύσουμε.
Έστω πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί με . Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα για τα οποία ο είναι σύνθετος.
, και τελιώσαμε.
Σχόλιο: Στην λύση που έδωσα παραπάνω, στο αρχικό πρόβλημα του Ορέστη, το πρώτο βήμα (στο πρόχειρό μου) ήταν να βρω έναν σύνθετο της μορφής . Τέτοιοι είναι οι και . Τα υπόλοιπα βήματα κτιζόντουσαν από αυτό.
Η άσκηση του Δημήτρη ουσιαστικά λέει "ξέχνα αυτό το βήμα αφού δεν μπορείς να ξέρεις αν τα είναι σύνθετοι. Κάνε κάτι λιγότερο." Και έχει δίκιο.
Θέλω να πω ότι, αν στην αρχική άσκηση του Ορέστη ξεκινούσαμε με τον (αδιαφορώντας αν είναι σύνθετος ή όχι), θα βρίσκαμε τους σύνθετους της μορφής (όλοι πολλαπλάσια του ). Αυτοί βέβαια υπερτερούν σε απλότητα από τους και που έγραψα αρχικά, ως πολλαπλάσια του και του , αντίστοιχα. Κάτι ήξερε ο Δημήτρης όταν έθεσε το ερώτημα.
Re: Σύνθετος!
Να σχολιάσω εδώ το εξής. Μπορούμε να δείξουμε ότι οι πρώτοι διαιρέτες που είναι τέτοιοι ώστε για κάποιο , όπου , είναι άπειροι. Έχω μία απόδειξη υπόψη μου αλλά δεν είναι στοιχειώδης.Demetres έγραψε:Ας το γενικεύσουμε.
Έστω πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί με . Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα για τα οποία ο είναι σύνθετος.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες