Διοφαντική με πρώτους

#1

Βρείτε το θετικό ακέραιο

και τους πρώτους p,q,r

ώστε $p^{n} + q^{2} = r^{2}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε:Βρείτε το θετικό ακέραιο και τους πρώτους ώστε $p^{n} + q^{2} = r^{2}$ .

Καλησπέρα κύριε Θανάση!

Καταρχήν, δεν μπορεί όλοι οι πρώτοι να είναι περιττοί, γιατί τότε το αριστερό μέλος είναι άρτιος, ενώ το δεξί περιττός, άτοπο.

Άρα, κάποιος είναι

.

Έστω r=2

. Τότε, $p^n+q^2=4 \Leftrightarrow q \leq 2 \Leftrightarrow q=2, p^n=0$ άτοπο.

Έστω q=2

. Τότε $(r-2)(r+2)=p^n \Leftrightarrow r-2=p^a, \,\, r+2=p^b$ και p^b-p^a=4

, οπότε $p/p^b-p^a=4 \Leftrightarrow p=2$ και εύκολα $2^b-2^a=4 \Leftrightarrow a \leq 2 \Leftrightarrow a \in (1,2)$ , με δεκτή a=2,b=3, r=6

άτοπο (όχι πρώτος).

Έστω p=2

. Τότε,

.

Αν $r,q \neq 3$ , τότε $r^2-q^2 \equiv 0 (\mod3)$ , συνεπώς $2^n \equiv 0 (\mod3)$ , άτοπο.

Άρα, q=3

ή

.

Αν $r=3, q^2+2^n=9 \Leftrightarrow q < 3 \Leftrightarrow q=2, 2^n=5$ , άτοπο.

Άρα, q=3

και

. Άρα,

.

Αν $k,l \geq 2$ , τότε 4/2^l-2^k=6

, άτοπο.

Άρα, $k \leq 1$ ή $l \leq 1$ .

Εύκολα πλέον από εδώ παίρνουμε k=1, l=3

, και τελικά λύση την (p,q,r,n)=(2,3,5,4)

.

Διοφαντική με πρώτους

Διοφαντική με πρώτους

Re: Διοφαντική με πρώτους

Μέλη σε σύνδεση