Εξίσωση με πρώτους
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Εξίσωση με πρώτους
Να βρείτε τους πρώτους που ικανοποιούν την εξίσωση
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Εξίσωση με πρώτους
Καταρχάς, έχουμε περιπτώσεις για τα και .
1) Είναι και οι τρεις περιττοί.
2) Είναι o ένας άρτιος (δηλαδή ) και οι άλλοι περιττοί.
1) Η εξίσωση γράφεται
Επειδή κάθε περιττό τετράγωνο γράφεται στην μορφή και επειδή και είναι περιττοί, πρέπει να ισχύει ότι άτοπο.
2) Επειδή η εξίσωση είναι συμμετρική ως προς τους και , υποθέτουμε πως . Έχουμε:
Αρχικά, έστω πως και είναι μεγαλύτεροι του . Τότε θα γράφονται στην μορφή ή . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
a) και
Τότε θα έπρεπε να ισχύει ότι:
άτοπο
b) και
Τότε θα έπρεπε να ισχύει ομοίως ότι:
άτοπο
c) και
Τότε θα έπρεπε να ισχύει ομοίως ότι:
άτοπο
d) και
Όμοια με το c) άτοπο
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τουλάχιστον κάποιος από τους και είναι ίσος με .
Έστω . Τότε
Δηλαδή πρέπει , συνεπώς και
Συνοψίζοντας οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
και και οι αναδιατάξεις τους.
edit: κάποιες μικρές βελτιώσεις
1) Είναι και οι τρεις περιττοί.
2) Είναι o ένας άρτιος (δηλαδή ) και οι άλλοι περιττοί.
1) Η εξίσωση γράφεται
Επειδή κάθε περιττό τετράγωνο γράφεται στην μορφή και επειδή και είναι περιττοί, πρέπει να ισχύει ότι άτοπο.
2) Επειδή η εξίσωση είναι συμμετρική ως προς τους και , υποθέτουμε πως . Έχουμε:
Αρχικά, έστω πως και είναι μεγαλύτεροι του . Τότε θα γράφονται στην μορφή ή . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
a) και
Τότε θα έπρεπε να ισχύει ότι:
άτοπο
b) και
Τότε θα έπρεπε να ισχύει ομοίως ότι:
άτοπο
c) και
Τότε θα έπρεπε να ισχύει ομοίως ότι:
άτοπο
d) και
Όμοια με το c) άτοπο
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τουλάχιστον κάποιος από τους και είναι ίσος με .
Έστω . Τότε
Δηλαδή πρέπει , συνεπώς και
Συνοψίζοντας οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
και και οι αναδιατάξεις τους.
edit: κάποιες μικρές βελτιώσεις
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Παρ Οκτ 28, 2016 9:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
- big-pitsirikos
- Δημοσιεύσεις: 59
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 19, 2016 11:25 am
Re: Εξίσωση με πρώτους
Ας υποθέσουμε ότι .
Τότε , και δοκιμάζοντας αυτές τις τιμές, δεν έχουμε λύσεις.
Άρα, κάποιος είναι , έστω ο .
Η εξίσωση γράφεται .
Αν οι είναι και οι δύο περιττοί, έστω , με αντικατάσταση έχουμε , που είναι αδύνατο (άρτιος = περιττός).
Άρα, κάποιος είναι άρτιος, έστω ο . Τότε και , από όπου , συνεπώς .
Λύση λοιπόν η και με όλες τις μεταθέσεις.
ΥΓ Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Διονύσης.
Τότε , και δοκιμάζοντας αυτές τις τιμές, δεν έχουμε λύσεις.
Άρα, κάποιος είναι , έστω ο .
Η εξίσωση γράφεται .
Αν οι είναι και οι δύο περιττοί, έστω , με αντικατάσταση έχουμε , που είναι αδύνατο (άρτιος = περιττός).
Άρα, κάποιος είναι άρτιος, έστω ο . Τότε και , από όπου , συνεπώς .
Λύση λοιπόν η και με όλες τις μεταθέσεις.
ΥΓ Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Διονύσης.
Αλίμονο σ'αυτούς που δεν ξέρουν ότι δεν ξέρουν αυτά που δεν ξέρουν !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες