Περὶ τοῦ ἀθροίσματος τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Περὶ τοῦ ἀθροίσματος τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου
Ἕνα κυρτὸ πολύγωνο βρίσκεται ἐντὸς ἑνὸς μοναδιαίου τετραγώνου. Δείξατε ὅτι τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου δὲν ξεπερνᾶ τὸ 4.
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Περὶ τοῦ ἀθροίσματος τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου
Μια προσπάθεια, όχι και τόσο αυστηρή.Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Ἕνα κυρτὸ πολύγωνο βρίσκεται ἐντὸς ἑνὸς μοναδιαίου τετραγώνου. Δείξατε ὅτι τὸ ἄθροισμα τῶν τετραγώνων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου δὲν ξεπερνᾶ τὸ 4.
'Εστω ( κτλ βλ. σχήμα) το μοναδιαίο τετράγωνο και το κυρτό πολύγωνο στο εσωτερικό του.
Ας είναι το σημείο του πολυγώνου πλησιέστερο προς την πάνω πλευρά ( ένα από τα πολύ δυο τέτοια σημεία, αφού είναι κυρτό). Όμοια τα σημεία του πολυγώνου πλησιέστερα προς την δεξιά, κάτω και αριστερή πλευρά του τετραγώνου αντίστοιχα.
Θεωρούμε την διαγώνιο η οποία χωρίζει το πολύγωνο σε δυο κυρτά πολυγώνα που βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα. Θεωρούμε την τεθλασμένη με την φορά των δεικτών του ρολογιού που βρίσκεται πάνω από την διαγώνιο. Λόγω της φύσης της επιλογής των και της κυρτότητας κάθε σημείο της τεθλασμένης θα βρίσκεται δεξιότερα του . Έτσι οι προβολές των πλευρών( έστω ) του πολυγώνου που αντιστοιχούν σε αυτή την τεθλασμένη θα είναι μη επικαλυπτόμενα τμήματα () στην πλευρά . Και για τα μήκη τους ισχύει
(1) (με συμβολίζουμε την πλευρά στην οποία κάναμε την προβολή)
Εργαζόμαστε παρόμοια και για την τεθλασμένη κάτω από την διαγώνιο , καθώς και δεξιά και αριστερά της διαγωνίου .
Με αυτή την διαδικασία κατά μοναδικό τρόπο αντιστοιχούμε σε κάθε πλευρά του πολυγώνου δυο προβολές σε πλευρές του τετραγώνου για τις οποίες ισχύει για κατάλληλα . Οπότε θα έχουμε
ή αν τα ομαδοποιήσουμε κατάλληλα ανά πλευρά στην οποία προβλήθηκαν.
λόγω της (1)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες