Σταθερό άθροισμα γωνιών

KARKAR · #1

: Σταθερό άθροισμα γωνιών.png (18.01 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Σημείο

κινείται στην προέκταση της πλευράς

, παραλληλογράμμου ABCD

,

του οποίου η γωνία $\hat{C}$ είναι αμβλεία . Η

τέμνει την

στο σημείο

και

την

στο

. Ο κύκλος (K,KA)

τέμνει τις AB,AD

στα

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το άθροισμα $\widehat{TSQ}+\widehat{TPQ}$ διατηρείται σταθερό .

#2

Η άσκηση είναι πιο δύσκολη απ ότι υπολόγιζα . Είναι όμως πολύ όμορφη με ωραίο αποτέλεσμα.

Με ταλαιπώρησε .

: Λήμα για το σταθερό άθροισμα γωνιών.png (19.55 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Πρώτα –πρώτα ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και

το σημείο τομής των

διαγωνίων του παραλληλογράμμου. Θα είναι $\boxed{KO//\frac{1}{2}CE}$ . Από την παραλληλία

αυτή και αφού στο $\vartriangle CBD$ η

διάμεσος , η δέσμη C(A,P,E,S)

είναι αρμονική

και τα σημεία : A,E

αρμονικά συζυγή των P,S

.

Μετά απ’ αυτά στο $\vartriangle TPS$ η

είναι διχοτόμος

και στο ομοίως στο $\vartriangle QPS$ η

είναι διχοτόμος.

Θα έχουμε έτσι :

: Σταθερό άθροισμα γωνιών.png (47.72 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {AQT} = \widehat {AET} = \widehat {{a_1}} + \widehat x\,\,\,(1) \hfill \\ \widehat {ATQ} = \widehat {AEQ} = \widehat {{z_1}} + \widehat y\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat \theta = (\widehat {{a_1}} + \widehat {{z_1}}) + (\widehat x + \widehat y) = \boxed{\widehat \theta = (\widehat {{a_1}} + \widehat {{z_1}}) + \widehat {TSQ}}\,\,(3)$

Από την άλλη μεριά :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {AQT} = \widehat {AET} = \widehat u - \widehat {{a_1}}\,\,\,(1) \hfill \\ \widehat {ATQ} = \widehat {AEQ} = \widehat v - \widehat {{z_1}}\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat \theta = - (\widehat {{a_1}} + \widehat {{z_1}}) + (\widehat u + \widehat v) = \boxed{\widehat \theta = - (\widehat {{a_1}} + \widehat {{z_1}}) + \widehat {TPQ}}\,\,(4)$

Προσθέτω τις $(3)\,\,\kappa \alpha \iota (4)$ κι έχω : $\boxed{\widehat {TSQ} + \widehat {TPQ} = 2\widehat \theta }$

Παρατήρηση:

Στη σχέση (3)

κι επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{z_1}} = \widehat {{z_2}}$ αντί των $\widehat {{a_2}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{z_2}}$ έβαλα $\widehat {{a_1}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{z_1}}$

για να φανεί μετά τη πρόσθεση των $(3)\,\,\kappa \alpha \iota (4)$ η κατάλληλη διαγραφή των

αντιθέτων αθροισμάτων

Σταθερό άθροισμα γωνιών

Σταθερό άθροισμα γωνιών

Re: Σταθερό άθροισμα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση