ΤΕΜΝΟΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ

#1

Δύο τεμνόμενοι κύκλοι (O,R_1)

και

έχουν κοινή χορδή την

. Έστω

το μέσο της διακέντρου

και

τυχαίο σημείο της

. Αν η κάθετη στην

στο σημείο

τέμνει τους κύκλους (O,R_1)

,

στα σημεία C,D

και

αντίστοιχα με τα E,D

να είναι εσωτερικά σε ένα από τους δύο κύκλους, να αποδείξετε ότι:
i) NE=ND, NC=NF

ii) Αν η εφαπτομένη του (O,R_1)

στο

τέμνει τον (K,R_2)

στα

και η εφαπτομένη του (O,R_2)

στο

τέμνει τον (K,R_1)

στα

, να αποδείξετε ότι τα Z,H,Q,T

είναι κορφές τραπεζίου.

#2

Ας δούμε το πρώτο ερώτημα όταν οι κύκλοι άνισοι αφού για ίσους κύκλους είναι

προφανές.

: τεμνόμενοι κύκλοι και τραπέζιο_α_ερώτημα.png (35.34 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

Θεωρώ τα αποστήματα $OG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KJ$ και θέτω $GE = a\,\,,\,\,EN = x\,\,,ND = y\,\,,\,\,DJ = b$ .

Από το τραπέζιο OKJG

αφού η

παράλληλη στις βάσεις θα είναι διάμεσός του

Οπότε: $ax = by \Rightarrow \boxed{y = \frac{{ax}}{b}}\,\,(1)$ . Επειδή $AN \cdot NB = CN \cdot ND = EN \cdot NF$ θα έχω :

$x(x + 2y + 2b) = y(2x + y + 2a) \Rightarrow {x^2} - {y^2} + 2bx - 2ay = 0$ ή λόγω της (1)

και μετά

από απλές πράξεις: $x(b - a)(b + a)(x +2 b) = 0 \Rightarrow \boxed{a = b}$ . Θα είναι πάλι λόγω της

(1)

και $\boxed{x = y}$ . Έτσι τελικά $EN = ND\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = DF$ .

ΤΕΜΝΟΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ

ΤΕΜΝΟΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ

Re: ΤΕΜΝΟΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ

Μέλη σε σύνδεση