Σε ευθεία!

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Έστω τρίγωνο , τα ύψη και το ορθόκεντρό του. Έστω το σημείο τομής της με την προέκταση της και το μέσο του . Τέλος έστω το σημείο τομής της κάθετης από το στην και της κάθετης από το στην .

Να αποδειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά.

Σε ευθεία!.png (24.5 KiB) Προβλήθηκε 1479 φορές

[min##]

Αρχικά συγγνώμη που δεν κάνω σχήμα(δεν έχω μάθει να το χειρίζομαι το mathematica).Φέρνω τον περιγεγραμμένο κύκλο του ΕDCB.Η ΖΑ είναι πολική του Η (γιατί;) οπότε η πολική του Ζ θα περνάει από το Η.Επιπλέον, η πολική του Ζ είναι η ΑΗ μιας και είναι κάθετη στο ΜΖ(Μ κέντρο του κύκλου).Άρα η πολική του Ζ περνάει από το Α--->η πολική του Α είναι η ΖΗ.Θα αποδείξω ότι η ΖΗ περνάει από το Τ.Η πολική του C είναι η εφαπτομένη στο C και περνάει από το Τ--->Η πολική του Τ θα περνάει από το C.Επιπλέον, επειδή η ΤΜ είναι κάθετη με την AC, η πολική του Τ είναι η ΑC(περνάει από το Α).Άρα και η πολική του Α περνάει από το Τ...

[sot arm]

Μία διαπραγμάτευση και γω... φέρνω πάλι τον περιγεγραμμένο κύκλο του , θα δείξω ότι η εφάπτεται σε αυτόν.
Προφανώς:
και αφού το μέσο της η μεσοκάθετη του τμήματος άρα:
και έχω πως η εφαπτόμενη.Πλέον το ζητούμενο εμφανές από το θεώρημα στο εκφυλισμένο:

Σε ευθεία.png (129.14 KiB) Προβλήθηκε 1413 φορές

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Μία διαπραγμάτευση και γω... φέρνω πάλι τον περιγεγραμμένο κύκλο του , θα δείξω ότι η εφάπτεται σε αυτόν.
Προφανώς:
και αφού το μέσο της η μεσοκάθετη του τμήματος άρα:
και έχω πως η εφαπτόμενη.Πλέον το ζητούμενο εμφανές από το θεώρημα στο εκφυλισμένο:

Σε ευθεία.png

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Η δική μου λύση:

Έστω το ίχνος του ύψους από το .

Αρχικά παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο είναι πλήρες. Οι διαγώνιοι και τέμνουν την τρίτη διαγώνιο στα και αντίστοιχα, άρα από γνωστό λήμμα έχουμε πως .

Από τη σχέση για το μέσο της και την αρμονική τετράδα έχουμε πως (1).

Θεωρούμε κέντρο ομοιοθεσίας το και λόγο .

Αυτό σημαίνει ότι το είναι ομοιόθετο του .

Από τη σχέση (1) όμως θα είναι και το το ομοιόθετο του στην ίδια ομοιοθεσία.

Ακόμη αφού , θα είναι η ομοιόθετη ευθεία της .

Έστω το ομοιόθετο του . Το είναι στην ευθεία , αλλά και στην ευθεία , δηλαδή είναι η τομή τους. Ακόμη αν φέρουμε την παράλληλη από το προς την , τότε το (το ομοιόθετο του ) θα ανήκει στην , αλλά και στη συγκεκριμένη παράλληλη, επομένως είναι η τομή τους.

Με άλλα λόγια . Όμως , άρα .

Με άλλα λόγια το είναι το ορθόκεντρο του . Το είναι το ορθόκεντρο του . Αφού όμως τα τρίγωνα και είναι ομοιόθετα, θα είναι και τα ορθόκεντρά τους ομοιόθετα. Άρα πράγματι τα σημεία είναι συνευθειακά.

ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ!.png (30.46 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές