Μια δύσκολη από Ρουμανία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Απάντηση
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Μια δύσκολη από Ρουμανία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Ιαν 30, 2017 4:17 pm

Στον κύκλο κέντρου O θεωρούμε μια διάμετρο AB και σημείο C πάνω στην OB. Η κάθετη επί την AB στο C τέμνει το ένα ημικύκλιο στο D. Κύκλος κέντρου K εφάπτεται στο τόξο BD και στα τμήματα CD,CB στα σημεία E,Z,H αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ADH είναι ισοσκελές.


Λέξεις Κλειδιά:
κύκλος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15021
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 30, 2017 7:50 pm

Ρουμάνικη.png
Ρουμάνικη.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές
Αρχικά είναι : AD^2=(R+x)^2+R^2-x^2=2R^2+2Rx ,

OH^2=(R-r)^2-r^2=R^2-2Rr .

Τέλος : AH^2=(R+OH)^2=R^2+OH^2+2R\cdot OH

=R^2+R^2-2Rr+2R(x+r)=2R^2-2Rr+2Rx+2Rr

=2r^2+2Rx=AD^2 ,ό .έ. δ.


Κορυφή
harrisp
Δημοσιεύσεις: 546
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Δευ Ιαν 30, 2017 8:29 pm

KARKAR έγραψε:Ρουμάνικη.png Αρχικά είναι : AD^2=(R+x)^2+R^2-x^2=2R^2+2Rx ,

OH^2=(R-r)^2-r^2=R^2-2Rr .

Τέλος : AH^2=(R+OH)^2=R^2+OH^2+2R\cdot OH

=R^2+R^2-2Rr+2R(x+r)=2R^2-2Rr+2Rx+2Rr

=2r^2+2Rx=AD^2 ,ό .έ. δ.

:notworthy: :notworthy:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Ιαν 30, 2017 11:14 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Στον κύκλο κέντρου O θεωρούμε μια διάμετρο AB και σημείο C πάνω στην OB. Η κάθετη επί την AB στο C τέμνει το ένα ημικύκλιο στο D. Κύκλος κέντρου K εφάπτεται στο τόξο BD και στα τμήματα CD,CB στα σημεία E,Z,H αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ADH είναι ισοσκελές.
Η Αντιστροφή με πόλο A και λόγο \lambda^2=AD^2 κρατάει τον κύκλο (K,r) αμετάβλητο και τα σημεία D,H σταθερά,έτσι AD=AH.


Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9855
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 30, 2017 11:23 pm

Φωτεινή έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Στον κύκλο κέντρου O θεωρούμε μια διάμετρο AB και σημείο C πάνω στην OB. Η κάθετη επί την AB στο C τέμνει το ένα ημικύκλιο στο D. Κύκλος κέντρου K εφάπτεται στο τόξο BD και στα τμήματα CD,CB στα σημεία E,Z,H αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ADH είναι ισοσκελές.
Η Αντιστροφή με πόλο A και λόγο \lambda^2=AD^2 κρατάει τον κύκλο (K,r) αμετάβλητο και τα σημεία D,H σταθερά,έτσι AD=AH.

:clap2: :clap2:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιαν 31, 2017 12:32 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Στον κύκλο κέντρου O θεωρούμε μια διάμετρο AB και σημείο C πάνω στην OB. Η κάθετη επί την AB στο C τέμνει το ένα ημικύκλιο στο D. Κύκλος κέντρου K εφάπτεται στο τόξο BD και στα τμήματα CD,CB στα σημεία E,Z,H αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ADH είναι ισοσκελές.
Δύσκολη από Ρουμανία.png
Δύσκολη από Ρουμανία.png (28.96 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές
Με \dfrac{{ZK}}{{OA}} = \dfrac{{{R_K}}}{{{R_o}}} = \dfrac{{EK}}{{EO}}\mathop \Rightarrow \limits^{O,K,E\;\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } A,Z,E συνευθειακά, οπότε

A{H^2}\mathop = \limits^{\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu o\;\tau o\upsilon \;\left( K \right)} AZ \cdot AE\mathop = \limits^{Z,E,B,C\;o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha \;\left( {\angle C = \angle E = {{90}^0}} \right)} AC \cdot AB\mathop = \limits^{\angle ADB = {{90}^0},DC \bot AB} A{D^2} \Rightarrow \boxed{AH = AD}

και το ζητούμενο έχει αποδειθχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9855
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 31, 2017 11:08 am

Τελικά, για να είμαστε δίκαιοι, και οι τρεις μέχρι τώρα λύσεις είναι εντυπωσιακές :clap2: .

Πάντως έχω την άποψη ότι η άσκηση έχει τεθεί πιο παλιά από τον εκ Καρδίτσας ορμώμενο


Φιλικά, Νίκος


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15021
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 31, 2017 1:21 pm

Doloros έγραψε:Τελικά, για να είμαστε δίκαιοι, και οι τρεις μέχρι τώρα λύσεις είναι εντυπωσιακές :clap2: .

Πάντως έχω την άποψη ότι η άσκηση έχει τεθεί πιο παλιά από τον εκ Καρδίτσας ορμώμενο
Ρουμάνικη.png
Ρουμάνικη.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές
Οι έξυπνοι ( ή εξυπνακίστικοι ) τίτλοι του παρελθόντος δυσκόλεψαν κάπως την αναζήτηση ,

τελικά όμως βρήκα ότι ο Νίκος μιλάει πιθανότατα γι αυτή , που δίνει και τρόπο κατασκευής

του συγκεκριμένου σχήματος . Το είχα ξεχάσει , αλλά έχω και σε άλλες δημοσιεύσεις χρησιμοποιήσει

τον κύκλο αυτό , για τον οποίο έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι κατασκευής , μία των οποίων

( με Geogebra ) , είναι να πάρουμε το K , ως σημείο της παραβολής f(x)=\dfrac{R^2-x^2}{2R} .

Την εποχή εκείνη δύσκολα ξέφευγε άσκηση από το Στάθη Κούτρα . Ευτυχώς τώρα βρήκε

αποδοτικότερες ενασχολήσεις - έγινε πλέον θεωρηματίας :lol:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13278
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 31, 2017 1:46 pm

KARKAR έγραψε:Οι έξυπνοι ( ή εξυπνακίστικοι ) τίτλοι του παρελθόντος δυσκόλεψαν κάπως την αναζήτηση ,

τελικά όμως βρήκα ότι ο Νίκος μιλάει πιθανότατα γι αυτή , που δίνει και τρόπο κατασκευής του συγκεκριμένου σχήματος .
Έχω την εντύπωση ότι υπάρχει και κάποια άλλη πολύ πιο πρόσφατη που αναφέρεται στην κατασκευή.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9855
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 31, 2017 1:56 pm

george visvikis έγραψε:
KARKAR έγραψε:Οι έξυπνοι ( ή εξυπνακίστικοι ) τίτλοι του παρελθόντος δυσκόλεψαν κάπως την αναζήτηση ,

τελικά όμως βρήκα ότι ο Νίκος μιλάει πιθανότατα γι αυτή , που δίνει και τρόπο κατασκευής του συγκεκριμένου σχήματος .
Έχω την εντύπωση ότι υπάρχει και κάποια άλλη πολύ πιο πρόσφατη που αναφέρεται στην κατασκευή.

Ναι Γιώργο και μάλιστα έχεις πάρει εύσημα από τον KARKAR για τη δική σου κατασκευή . Αν το βρεις βάλε παραπομπή .


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15021
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 31, 2017 3:09 pm

Μια σχετική δημοσίευση είναι αυτή . Ο Νίκος μάλλον θυμάται εκείνη ...


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9855
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μια δύσκολη από Ρουμανία

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 31, 2017 5:56 pm

KARKAR έγραψε:Μια σχετική δημοσίευση είναι αυτή . Ο Νίκος μάλλον θυμάται εκείνη ...

Αυτά ακριβώς κι ευχαριστώ.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες