Πόσα 1 και 0;

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 645
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Πόσα 1 και 0;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Ιαν 12, 2018 4:32 pm

Βρήκα μια ωραία άσκηση και είπα να την μοιραστώ!

Δίνεται αριθμός με  2016 μηδενικά που είναι γραμμένος ως  101010 ... 0101 , στον οποίο το 0 και το 1 εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9880
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα 1 και 0;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 12, 2018 11:48 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 4:32 pm
Δίνεται αριθμός με  2016 μηδενικά που είναι γραμμένος ως  101010 ... 0101 , στον οποίο το 0 και το 1 εναλλάσσονται. Αποδείξτε ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι πρώτος.
.
Ο αριθμός αυτός των 2016+2017=4033 ψηφίων, γράφεται ως 1+100 + 100^2+...+ 100^{2016}.

Ως γεωμετρική πρόοδος ισούται με \displaystyle{ \dfrac {100^{2017} -1}{100-1} =  \dfrac {10^{4034}-1 }{99} = \dfrac {10^{2017}-1 }{9}\cdot \dfrac {10^{2017}+1}{11}}. Θα δούμε ότι και τα δύο κλάσματα είναι, τελικά, ακέραιοι, οπότε ο αριθμός είναι σύνθετος. Προχωράμε με δύο τρόπους, ο καθένας με τα πλεονεκτήματά του:

α) Το πρώτο κλάσμα γράφεται \displaystyle{ \dfrac {999...999}{9} = 111...111}. Το δεύτερο είναι επίσης ακέραιος από το κριτήριο διαιρετότητας του 11 (έχει έναν άσσο σε άρτια θέση και έναν σε περιττή).

β) Αλλιώς, πάλι από γεωμετρικές προόδους, είναι \displaystyle{  \dfrac {10^{2017}-1 }{9} =  \dfrac {10^{2017}-1 }{10-1}= 1+10 + ... + 10^{2016}} και

\displaystyle{  \dfrac {10^{2017}+1}{11} = \dfrac {10^{2017}+1}{10+1} = 10^{2016}-10^{2015}+... -10+1   }, πάντως ακέραιοι >1 και οι δύο.

Σχολιάζω ότι η απόδειξη γενικεύεται για όλους τους αριθμούς της παραπάνω μορφής αλλά με 4N+1 ψηφία στην θέση των 4033 του δοθέντος.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9880
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πόσα 1 και 0;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 13, 2018 1:19 pm

Ας τα γενικεύσουμε.

Θα δούμε ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής 10101...0101= \sum_{k=0}^{N} 100^k=\sum_{k=0}^{N} 10^{2k} είναι σύνθετοι, εκτός του 101. Για αριθμούς με 4N+1 ψηφία, ουσιαστικά το είδαμε στο προηγούμενο ποστ. Για αριθμούς με 4N+3 θα δείξουμε ότι είναι όλοι πολλαπάσια του 101.

Ακόμα καλύτερα, θα δούμε ότι όλα τα πολυώνυμα της μορφής \displaystyle{1+x^2+x^4+...+ x^{2N}} παραγοντοποιούνται ως γινόμενο δύο ακέραιων πολυωνύμων βαθμού \ge 2. Για x=10 έχουμε τα παραπάνω.

α) Για N άρτιος, N=2M, έχουμε

\displaystyle{1+x^2+x^4+...+ x^{4M} = \frac {(x^2)^{2M+1}-1}{x^2-1} =  \frac {x^{2M+1}-1}{x-1}\cdot \frac {x^{2M+1}+1}{x+1}  }

\displaystyle{=(1+x+x^2+...+ x^{2M}) (1-x+x^2-...+ x^{2M})}

β) Για N περιττός, N=2M+1, έχουμε

\displaystyle{1+x^2+x^4+...+ x^{4M+2} = (1+x^2)+x^4(1+x^2)+...+x^{4M}(1+x^{2}) = (1+x^2)(1+x^4+...+x^{4M})  }

(άλλος τρόπος: εύκολα βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος μηδενίζεται για x=\pm i, άρα έχει παράγοντα τον (x-i)(x+i)=x^2+1 και λοιπά).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης