Ακέραιος!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b)

ώστε $\dfrac{a^3+1}{ab-1} \in \mathbb{Z}$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θέλουμε ο $\dfrac{a^3+1}{ab-1}$ να είναι ακέραιος, δηλαδή ο $\dfrac{a^3+1}{ab-1}+1=\dfrac{a(a^2+b)}{ab-1}$ να είναι ακέραιος.
Όμως οι αριθμοί

και

είναι πρώτοι μεταξύ τους. Επομένως θέλουμε να βρούμε όλα τα (a, b)

, έτσι ώστε ο $\dfrac{a^2+b}{ab-1}$ να είναι ακέραιος. Προφανώς θα είναι θετικός ακέραιος, καθώς και ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι θετικοί ακέραιοι.

Έστω $\dfrac{a^2+b}{ab-1}=k$ , με

θετικός ακέραιος. Ελέγχουμε αρχικά την τετριμμένη περίπτωση k=1

.

Τότε θα πρέπει $a^2+b=ab-1\Leftrightarrow a^2+1=b(a-1)\Leftrightarrow a-1|a^2+1$ . Όμως ξέρουμε πως a-1|a^2-1

, άρα $(a^2+1, a^2-1)\geq a-1$ .

Όμως $(a^2+1, a^2-1)\leq 2$ . Άρα $a-1\leq 2\Leftrightarrow a\leq 3$ . Οι περιπτώσεις a=2, a=3

εγκρίνονται καθώς δίνουν τα (a, b)=(2, 5)

και

.

Έστω τώρα πως k>1

.

Ελέγχουμε τις περιπτώσεις $b\leq 3$ .

Αν b=1

, τότε θέλουμε ο $\dfrac{a^2+1}{a-1}$ να είναι ακέραιος, που όπως αναλύσαμε πρέπει a=2

ή

. Έχουμε λοιπόν τα (a, b)=(2, 1)

και

Αν

, τότε θέλουμε ο $\dfrac{a^2+2}{2a-1}$ να είναι ακέραιος, δηλαδή ο $\dfrac{a^2+2}{2a-1}+2$ να είναι ακέραιος, δηλαδή ο $\dfrac{a^2+4a}{2a-1}$ να είναι ακέραιος, αφού όμως (a, 2a-1)=1

, πρέπει $\dfrac{a+4}{2a-1}$ να είναι ακέραιος, δηλαδή ο $\dfrac{a+4}{2a-1}+4$ να είναι ακέραιος, δηλαδή ο $\dfrac{9a}{2a-1}$ να είναι ακέραιος, δηλαδή ο $\dfrac{9}{2a-1}$ να είναι ακέραιος, δηλαδή a=1

ή

. Άρα έχουμε τα (a, b)=(1, 2), (a, b)=(2, 2)

και

.

Αν

, έχουμε πως πρέπει ο $\dfrac{a^2+3}{3a-1}$ να είναι ακέραιος και με την ίδια διαδικασία προκύπτει το ισοδύναμο $\dfrac{28}{3a-1}$ να είναι ακέραιος, άρα a=1

ή

. Άρα έχουμε τα (a, b)=(1, 3)

και

.

Έστω τώρα b>3

Έχουμε ότι $\dfrac{a^2+b}{ab-1}=k\Leftrightarrow a^2+kba+b+k=0$ . Λύνοντας ως προς

προκύπτει ότι η διακρίνουσα είναι ίση με b^2k^2-4(b+k)

.

Για να βγαίνει το

ακέραιο πρέπει b^2k^2-4(b+k)=m^2

. Είναι προφανές πως b^2k^2>b^2k^2-4(b+k)

Θα αποδείξουμε (bk-2)^2<b^2k^2-4(b+k)

.

Πράγματι $(bk-2)^2<b^2k^2-4(b+k)\Leftrightarrow b^2k^2+4-4bk<b^2k^2-4(b+k)\Leftrightarrow 1<bk-b-k\Leftrightarrow 2<(b-1)(k-1)$ , που ισχύει καθώς $b\geq 4$ και k>1

.

Έπεται λοιπόν πως $b^2k^2-4(b+k)=(bk-1)^2\Leftrightarrow 4(b+k)+1=2bk$ , άτοπο.

Άρα μοναδικές λύσεις οι:

(a, b)=(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 2), (5, 3)

.

Ορέστης Λιγνός · #3

Πολύ ωραία Διονύση!

Ακέραιος!

Ακέραιος!

Re: Ακέραιος!

Re: Ακέραιος!

Μέλη σε σύνδεση