Γράφοντας καὶ σβήνοντας ἀριθμοὺς στὶς κορυφὲς καὶ πλευρὲς ἑξαγώνου

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Στὶς ἕξη πλευρὲς ἑξαγώνου γράφομε σὲ κάθε μὶα ἀπὸ ἕναν ἀριθμό, καὶ ἀκολούθως γράφομε στὶς ἕξη κορυφὲς τὰ ἀθροίσματα τῶν ἀριθμῶν τῶν δύο πλευρῶν τὶς ὁποῖες ἑκάστη τῶν κορυφῶν αὐτῶν συνδέει. Ἁκολούθως, σβήνομε τοὺς ἀριθμοὺς τοὺς ὁποίους εἴχαμε γράψει στὶς πλευρές, καὶ σβήνομε καὶ τὸν ἀριθμὸ ὁ ὁποῖος εἶναι γραμμένος στὴν πρώτη κορυφή. Εἶναι δυνατὸν νὰ ὑπολογισθεῖ ὁ ἀριθμὸς ὁ ὁποῖος ἦταν γραμμένος στὴν πρώτη κορυφή μὲ βάση τοὺς πέντε ἀριθμοὺς οἱ ὁποῖοι δὲν ἔχουν σβησθεῖ;

#2

Αν

οι αριθμοί στις πλευρές (που αργότερα σβήνονται), τότε οι αριθμοί στις κορυφές είναι: Ο σβησμένος a+b

και διαδοχικά οι b+c, c+d, d+e, e+f, f+a

. Από την ταυτότητα
a+b = (b+c)-( c+d)+(d+e)-(e+f)+(f+a)

μπορούμε να ξαναβρούμε τον a+b

από τους υπόλοιπους.

#3

Συμπλήρωμα στο προηγούμενο: Αν είχαμε πεντάγωνο στην θέση του εξάγωνου (γενικότερα 2n+1-

γώνο στην θέση του 2m-

γωνου), δεν θα μπορούσαμε να βρούμε τον αριθμό στην πρώτη κορυφή.

Πράγματι, αν οι αρχικοί αριθμοί ήσαν οι 1-2-3-4-5

τότε στις κορυφές θα βρεθούν οι X-5-7-9-6

(εδώ

είναι ο σβησμένος που ψάχνουμε, εδώ

). Αν πάλι οι αριθμοί ήσαν οι 2-3-2-5-4

τότε στις κορυφές θα βρεθούν οι X-5-7-9-6

(το ίδιο ακριβώς με πριν). Όμως τώρα X=5

, ίσον διαφορετικός από πριν. Άρα δεν μπορούμε να ξέρουμε ποιος ήταν εκεί.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Ἰσχύει τὸ ἑξῆς: ἂν $e_1,\ldots,e_n$ ἡ συνήθης βάση τοῦ $\mathbb R^n$ , τότε ἡ διάσταση τοῦ χώρου ποὺ παράγεται ἀπὸ τὰ $\{e_1+e_2,e_2+e_3,\ldots,e_{n-1}+e_n,e_n+e_1\}$ εἶναι

, ἂν

περιττὸς καὶ n-1

ἂν

ἄρτιος.

Γράφοντας καὶ σβήνοντας ἀριθμοὺς στὶς κορυφὲς καὶ πλευρὲς ἑξαγώνου

Γράφοντας καὶ σβήνοντας ἀριθμοὺς στὶς κορυφὲς καὶ πλευρὲς ἑξαγώνου

Re: Γράφοντας καὶ σβήνοντας ἀριθμοὺς στὶς κορυφὲς καὶ πλευρὲς ἑξαγώνου

Re: Γράφοντας καὶ σβήνοντας ἀριθμοὺς στὶς κορυφὲς καὶ πλευρὲς ἑξαγώνου

Re: Γράφοντας καὶ σβήνοντας ἀριθμοὺς στὶς κορυφὲς καὶ πλευρὲς ἑξαγώνου

Μέλη σε σύνδεση