Άθροισμα μηδέν

#1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

για τους οποίους υπάρχουν μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x_1,x_2,...,x_n

ώστε

$\displaystyle{x_1+x_2+...+x_n=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=0.}$

#2

Για

προφανώς δεν γίνεται. Για n=3

επίσης δεν γίνεται αφού τότε τα x_i

θα είναι ρίζες του πολυωνύμου x^3 - x_1x_2x_3

το οποίο όμως έχει μόνο μία πραγματική ρίζα. (Εδώ χρησιμοποιήσαμε τους τύπους του Vieta και το γεγονός ότι x_1+x_2+x_3 = 0 = x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1

.)

Θα δείξουμε ότι γίνεται για κάθε άλλο

. Παρατηρούμε ότι αν γίνεται για n=k

, τότε γίνεται και για n=k+2

θέτοντας επιπλέον $x_{k+1}=1,x_{k+2}=-1$ .

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι γίνεται για n=2

και

.

Για

θέτουμε

.

Για

θέτουμε

, $x_4 = -(3+\sqrt{5})/2)$ και $x_5 = -(3-\sqrt{5})/2$ . Προφανώς x_4+x_5 = -3

άρα

. Επίσης $\displaystyle{ x_4x_5 = 1}$ άρα 1/x_4 + 1/x_5 = x_5+x_4 = -3

και άρα $1/x_1 + \cdots + 1/x_5 = 0$ .