Διοφαντική

Ορέστης Λιγνός · #1

Να λύσετε στους μη αρνητικούς ακεραίους την εξίσωση 2(x^3+y^3+z^3)=3(x+y+z)^2

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια λύση είναι (x, y, z)=(0, 0, 0)

Αν είναι

αριθμοί 0 (έστω ο

και ο

) και ο άλλος είναι θετικός (έστω ο

), τότε έχουμε πως $2z^3=3z^2\Leftrightarrow 2z=3$ , άτοπο.

Αν είναι ένας αριθμός

(έστω ο ο

) και οι άλλοι δύο θετικοί (έστω ο

και o

), τότε έχουμε πως:

2(y^3+z^3)=3(y+z)^2

(1)

Είναι γνωστό πως:

$y^3+z^3\geq \dfrac{(y+z)^3}{4}$

Άρα αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε πως $(y+z)^3\leq 6(y+z)^2\Leftrigtarrow y+z\leq 6$ (2)

Από την (1) πρέπει y+z

να άρτιο και ταυτόχρονα 3|y^3+z^3

. Όμως από FLT

έχουμε πως $a^3\equiv a \pmod{3}$ , άρα πρέπει 3|y+z

, δηλαδή πρέπει 6|y+z

, που από τη (2) έχουμε πως πως y+z=6

.

Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε πως $2(y^3+z^3)=108\Leftrightarrow y^3+z^3=54$ , όπου έχουμε εύκολα ότι y=z=3

Έχουμε λοιπόν την λύση (x, y, z)=(3, 3, 0)

και τις αναδιατάξεις τους.

Αν είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί έχουμε:

2(x^3+y^3+z^3)=3(x+y+z)^2

(3)

Είναι γνωστό πως $x^3+y^3+z^3\geq \dfrac{(x+y+z)^3}{9}$

Άρα αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε πως $2(x+y+z)^3\leq 27(x+y+z)^2\Leftrightarrow x+y+z\leq \dfrac{27}{2}$ , δηλαδή $x+y+z\leq 13$ (4)

Όμοια και με πριν έχουμε πως 6|x+y+z

, άρα έχουμε από την (4) πως x+y+z=6

ή

Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε πως 2(x^3+y^3+z^3)=108

ή

, δηλαδή

ή

, όπου η πρώτη δεν έχει λύσεις, ενώ η δεύτερη έχει την (3, 4, 5)

.

Μοναδικές λύσεις της αρχικής εξίσωσης λοιπόν είναι (x, y, z)=(0, 0, 0), (3, 3, 0), (3, 4, 5)

και οι αναδιατάξεις τους.

edit: Έγινε διόρθωση, ευχαριστώ τον JimNt.

JimNt. · #3

H

δίνει και αυτή λύση...

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση