Οπωσδήποτε μικρότερο

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9281
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Οπωσδήποτε μικρότερο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 11, 2018 9:47 pm

Οπωσδήποτε  μικρότερο.png
Οπωσδήποτε μικρότερο.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Σημείο S κινείται στο εσωτερικό της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου . Φέρουμε τμήμα

PS\perp AB . Η χορδή QP είναι κάθετη προς το PS και το QT κάθετο στην AP .

α) Εξετάστε αν για κάθε θέση του S , είναι : PS>QT .

β) Βρείτε τη θέση του S , για την οποία : PS=2QT



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9880
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οπωσδήποτε μικρότερο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 11, 2018 10:29 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:47 pm
Οπωσδήποτε μικρότερο.pngΣημείο S κινείται στο εσωτερικό της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου . Φέρουμε τμήμα

PS\perp AB . Η χορδή QP είναι κάθετη προς το PS και το QT κάθετο στην AP .

α) Εξετάστε αν για κάθε θέση του S , είναι : PS>QT .

β) Βρείτε τη θέση του S , για την οποία : PS=2QT
α) Από όμοια τρίγωνα είναι \dfrac {QT}{QP}<\dfrac {QT}{PT}= \dfrac {PS}{AS}< \dfrac {PS}{QP}, από όπου το ζητούμενο.

β) Θέτουμε AS=x, οπότε QP=2(x-R) (διότι η κάθετος από το κέντρο στην QP την διχοτομεί). Από τα όμοια τρίγωνα QPT, APS έχουμε

\dfrac {QT}{QP}= \dfrac {PS}{AP}= \dfrac {2QT}{AP}, άρα \displaystyle{AP=2QP} ή \sqrt {2Rx}=4(x-R). Λύνοντας θα βρούμε x= (17+\sqrt {33})R/16.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6234
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Οπωσδήποτε μικρότερο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 12, 2018 11:50 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:47 pm
Οπωσδήποτε μικρότερο.pngΣημείο S κινείται στο εσωτερικό της διαμέτρου AB ενός ημικυκλίου . Φέρουμε τμήμα

PS\perp AB . Η χορδή QP είναι κάθετη προς το PS και το QT κάθετο στην AP .

α) Εξετάστε αν για κάθε θέση του S , είναι : PS>QT .

β) Βρείτε τη θέση του S , για την οποία : PS=2QT
Οπωσδήποτε μικρότερο.png
Οπωσδήποτε μικρότερο.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές
α) Αν \displaystyle QH \bot AB και E το σημείο τομής των AP, QH, τότε \displaystyle QH = PS,QT < QE < QH \Rightarrow \boxed{QT<PS}

β) Θέτω AH=SB=x. Τα ορθογώνια τρίγωνα QPE, PAB είναι όμοια και επειδή ο λόγος των υψών τους είναι

1:2 θα είναι PA=2QP. Είναι: \displaystyle A{P^2} = 4Q{P^2} \Leftrightarrow 2R(2R - x) = 4{(2R - 2x)^2} \Leftrightarrow

\displaystyle 8{x^2} - 15Rx + 6{R^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x < R} \boxed{x = \frac{R}{{16}}\left( {15 - \sqrt {33} } \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης