ΠΡΟΒΛΗΜΑ

[jimK]

Έστω ένας εξαψήφιος αριθμός με την ιδιότητα : << το άθροισμα τριών ψηφίων του αριθμού ισούται με το άθροισμα των τριών τελευταίων ψηφίων του αριθμού>>.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα όλων των εξαψήφιων αριθμών με αυτήν την ιδιότητα διαιρείται με το 13.

[biomass]

Εννοείς των τριών πρώτων ψηφιών του αριθμού;

[biomass]

Έστω \displaystyle{fabcde}\displaystyle{=de} .
Είναι γνωστό ότι . Οπότε,από την προηγούμενη σχέση \displaystyle{f} = \displaystyle{f+abc (10^3+1)\Longleftrightarrowabcde}\displaystyle{+abc-de} = .
Άρα, \displaystyle{f} \displaystyle{f} \displaystyle{f} \displaystyle{f- abc} .

Επίσης αν ο \displaystyle{fde}\displaystyle{abcde}\displaystyle{abc\equivabc-de}\displaystyle{(mod13)abcde} \displaystyle{f} \displaystyle{0(mod13)abc}\displaystyle{de}, μπορείς να πάρεις τους αριθμούς ανά δύο και έχεις το ζητούμενο.

Στην ισότητα, έχεις \displaystyle{f} \displaystyle{f- abc\equiv 0}.
Οπότε και πάλι έχεις το ζητούμενο.

[biomass]

Μπορείς να πεις ποια ήταν η πηγή αυτής της άσκησης ;

[jimK]

Όχι των τριών πρώτων.

[biomass]

Είσαι σίγουρος ;;

[biomass]

Οποιονδήποτε τριων ψηφιών του αριθμού;

[biomass]

Μπορείς να γράψεις την λύση;

[biomass]

Λύνεται διαφορετικά;

[biomass]

Επίσης αν ο \displaystyle{fde}\displaystyle{abcd=0de} αρχίζει από και άρα δεν είναι εξαψήφιος.

Αν κατά παρέκκλιση επιτρέψουμε και τους αριθμούς που αρχίζουν από να θεωρούνται εξαψήφιοι, τότε η (κατά τα άλλα σωστή) απόδειξή σου μπορεί να μαζευτεί σε λίγες γραμμές, διώχνοντας τα πολλά περιττά.

[biomass]

Σωστά κ.Λάμπρου!!

Αν κατά παρέκκλιση επιτρέψουμε και τους αριθμούς που αρχίζουν από να θεωρούνται εξαψήφιοι, τότε η (κατά τα άλλα σωστή) απόδειξή σου μπορεί να μαζευτεί σε λίγες γραμμές, διώχνοντας τα πολλά περιττά.

Μπορείτε να γράψετε μια πιο περιεκτική λύση του προβλήματος ;
Η ερώτηση μου είναι: η συνθήκη ότι οι 3 πρώτοι είναι ίσοι με τους 3 τελευταίους δεν ειναι αναγκαία?
Και η εκφώνηση ειναι τελικά σωστή ;

[Mihalis_Lambrou]

Μπορείτε να γράψετε μια πιο περιεκτική λύση του προβλήματος ;

[biomass]

Όντως , ειναι καλύτερα έτσι