Δίδυμη ισότητα

KARKAR · #1

: Δίδυμη ισότητα.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

του ορθογωνίου ABCD

.

Η κάθετη της

στο άκρο

, τέμνει την προέκταση της

στο

.

Αν

σημείο της

, ώστε

, δείξτε ότι επίσης : SP=SA

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2018 12:59 pm
Δίδυμη ισότητα.pngΤο σημείο είναι το μέσο της πλευράς του ορθογωνίου .Η κάθετη της στο άκρο , τέμνει την προέκταση της στο .Αν σημείο της , ώστε , δείξτε ότι επίσης : .

Ας είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε

$\vartriangle SCP\mathop \Rightarrow \limits^{\angle SCP = {{90}^0},\Pi .\Theta } P{S^2} = C{S^2} + C{P^2}$ $\mathop = \limits^{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle SDC} S{D^2} + {a^2} + {b^2}:\left( 1 \right)$

$S{A^2} = {\left( {SD + b} \right)^2} = S{D^2} + {b^2} + 2b \cdot SD:\left( 2 \right)$

$CS \bot CM\mathop \Rightarrow \limits^{CD \bot CB} \angle SCD = \angle MCB\mathop \Rightarrow \limits^{\angle SDC = \angle CBD = {{90}^0}}$ $\vartriangle SCD \sim \vartriangle MCB \Rightarrow \ldots \dfrac{{SD}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow {a^2} = 2b \cdot SD:\left( 3 \right)$

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow S{P^2} = S{A^2}\mathop \Rightarrow \limits^{SP,SA > 0} SP = SA$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ας είναι

το σημείο τομής των ευθειών $SC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ .

Θέτω : $DC = 2a\,,\,\,BC = b\,\,,\,\,BT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = y$ . Άρα :

$AM = MB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{x = \frac{{{b^2}}}{a}}\,\,\,(1)$ .

Από τις προφανείς ομοιότητες : $\left\{ \begin{gathered} \vartriangle DCS \approx \vartriangle BCM \hfill \\ \vartriangle DCS \approx \vartriangle BTC \hfill \\ \end{gathered} \right.$ έχω:

: Δίδυμη ισότητα.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{SC}}{{MC}} = \frac{{DC}}{{BC}} \hfill \\ \frac{{DS}}{{BC}} = \frac{{DC}}{{BT}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} SC = \frac{{2a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{b} \hfill \\ y = \frac{{2{a^2}}}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα : $\left\{ \begin{gathered} S{P^2} = S{C^2} + {b^2} = \frac{{{{(2{a^2} + {b^2})}^2}}}{{{b^2}}} \hfill \\ SA = \frac{{2{a^2} + {b^2}}}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Οπότε $\boxed{SA = SP = \frac{{2{a^2} + {b^2}}}{b}}$ .

Δίδυμη ισότητα

Δίδυμη ισότητα

Re: Δίδυμη ισότητα

Re: Δίδυμη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση