Περίεργη ισότητα 2

KARKAR · #1

: Περίεργη ισότητα.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Το τμήμα

είναι μικρότερο από την πλευρά

του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

και παράλληλο προς την βάση

. Ο κύκλος (O,OC)

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Δείξτε ότι : BS=AO

#2

Ας είναι

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο .

Επειδή : $\widehat {BAC} = \widehat {CAO} = 60^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {OAT} = 120^\circ$ τα τρίγωνα $ATO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASO\,\,$ έχουν: $OT = OS\,\,\,,\,OA$ κοινή και $\widehat {SAO} = \widehat {OAT} = 120^\circ$ άρα είναι ίσα .

( Έμμεσοι κριτήριο) συνεπώς θα έχουν

: περίεργη ισότητα_με ισόπλευρο_new.png (46.42 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

$OS = OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega = 30^\circ \Rightarrow \widehat \theta = 2\widehat \omega = 60^\circ$ .

Συνεπώς το τρίγωνο OSC

είναι ισόπλευρο, οπότε. $\widehat {SCB} = \widehat {OCA} \Leftrightarrow \widehat {SCB} + \widehat {SCA} = \widehat{OCA} + \widehat {SCA} \Leftrightarrow 60^\circ = 60^\circ$ .

Τώρα όμως θα είναι και τα τρίγωνα $OAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBC$ είναι ίσα γιατί έχουν και

$OC = SC\,\,,\,\,AC = BC$ . Άρα OA = SB

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2018 12:26 pm
Περίεργη ισότητα.pngΤο τμήμα είναι μικρότερο από την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

και παράλληλο προς την βάση . Ο κύκλος τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Δείξτε ότι :

Με $\displaystyle OD//AB$ $\displaystyle \Rightarrow AOCD$ ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle \Rightarrow AC = OD = OS \Rightarrow ASDO$ ισοσκελές τραπέζιο

Άρα $\displaystyle \angle SDO = \angle SDB = {60^0} \Rightarrow \vartriangle SDB$ ισόπλευρο οπότε $\displaystyle \boxed{SB = SD = AO}$

: P.I 2.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

#4

Η πρώτη μου λύση ήταν ίδια με του Νίκου. Ψάχνω λοιπόν και βρίσκω άλλη και μόλις
ετοιμάζομαι να τη γράψω βλέπω ότι είναι ίδια με του Μιχάλη. Παραδίνομαι!

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2018 12:26 pm
Περίεργη ισότητα.pngΤο τμήμα είναι μικρότερο από την πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$

και παράλληλο προς την βάση . Ο κύκλος τέμνει την πλευρά

στο σημείο . Δείξτε ότι :

Για να δούμε, θα προλάβω;

: Περίεργη ισότητα.2.png (16.9 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Η

επανατέμνει τον κύκλο στο

η

στο

και έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου. Λόγω του ισοπλεύρου και της παραλληλίας

AO||BC

είναι $B\widehat AC=C\widehat AO=O\widehat AD=60^0$ και από την ισότητα των τριγώνων OAD=OSC

προκύπτει ότι AD=a.

$\displaystyle BS \cdot BD = BE \cdot BC \Leftrightarrow BS \cdot 2a = BE \cdot a \Leftrightarrow$ $\boxed{BE=2BS}$ κι επειδή $E\widehat BS=60^0$ θα είναι $B\widehat SE=90^0,$ άρα η

είναι διάμετρος του κύκλου και $\boxed{AO=\frac{BE}{2}=BS}$

#6

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα τρίγωνα AOC, ASO

και με χρήση των $\cos OAC = \cos 60 = 1/2$ , $\cos OAS = \cos 120 = -1/2$ , έχουμε

$\displaystyle{OA^2+AC^2- OA \cdot AC = OC^2= OS^2=OA^2+AS^2+ OA \cdot AS}$ .

Αφού διώξουμε τον κοινό όρο OA^2

στην πρώτη και την τελευταία παράσταση, λύνουμε την δευτεροβάθμια ως προς

που προκύπτει.

Έχει ρίζες AS=-AC

(απορρίπτεται) ή AS=AC-AO

, από όπου το ζητούμενο: AO=AC-AS= AB-AS=BS

#7

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2018 4:14 pm
Η πρώτη μου λύση ήταν ίδια με του Νίκου. Ψάχνω λοιπόν και βρίσκω άλλη και μόλις
ετοιμάζομαι να τη γράψω βλέπω ότι είναι ίδια με του Μιχάλη. Παραδίνομαι!

Καλό!

Κώστας Βήττας.

Περίεργη ισότητα 2

Περίεργη ισότητα 2

Re: Περίεργη ισότητα 2

Re: Περίεργη ισότητα 2

Re: Περίεργη ισότητα 2

Re: Περίεργη ισότητα 2

Re: Περίεργη ισότητα 2

Re: Περίεργη ισότητα 2

Μέλη σε σύνδεση