Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Σάβ Αύγ 12, 2017 10:10 am

Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

Έστω BD, CE οι διχοτόμοι ορθογωνίου τριγώνου ABC(\widehat A=90^0), I το έγκεντρο και K, L οι προβολές των D, E

στη BC. Να δείξετε ότι το τρίγωνο IKL είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Αύγ 12, 2017 10:35 am

Καλημέρα Γιώργο!

Τα τρίγωνα \vartriangle EAC , \vartriangle EKC είναι ίσα (EC κοινή, ορθογώνια, \widehat{ECA}=\widehat{ECK}) και επομένως EA=EK (1) και \widehat{KEC}=\widehat{AEC} \Rightarrow \widehat{AEI}=\widehat{KEI} (2).

Τα τρίγωνα \vartriangle AEI, \vartriangle KEI από τις (1), (2) και το γεγονός ότι έχουν την EI κοινή, είναι ίσα, οπότε IA=IK (3) και \widehat{EKI}=\widehat{EAI}=45^\circ \Rightarrow \widehat{EKI}=45^\circ (4).

Όμοια προκύπτει IA=IL (5).

Από (3), (5), IK=IL (6).

Επίσης, \widehat{IKL}=90^\circ-\widehat{EKI} \mathop = \limits^{(4)} 45^\circ \Rightarrow \widehat{EKI}=45^\circ (7).

Από (6), (7), το ζητούμενο είναι άμεσο.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:36 pm

Μετά την ωραία λύση του φερέλπιδος νεαρού Ορέστη, μια ακόμα.

Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές.png (28.53 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές


Επειδή το τετράπλευρο AEKC έχει τις γωνίες στα A,K παραπληρωματικές ,είναι

εγγράψιμο και συνεπώς \boxed{\widehat {AKE} = \widehat {ACE} = \frac{{\widehat C}}{2} \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = 90^\circ  + \frac{{\widehat C}}{2}} , που μας

εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο ABKI είναι εγγράψιμο , με άμεση συνέπεια :

\boxed{\widehat y = \widehat x = 45^\circ } , ομοίως δε και \boxed{\widehat w = 45^\circ } , άρα το \vartriangle IKL είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άλλο ένα ορθογώνιο και ισοσκελές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από george visvikis » Κυρ Αύγ 13, 2017 12:47 am

Προβληματίστηκα ανάμεσα σε αυτό το ζητούμενο και στο KL=2r (r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου).

Τελικά επικράτησε το ορθογώνιο και ισοσκελές. Δεν ξέρω ποιο απ' τα δύο είναι πιο εύκολο...



Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης