Ισότητα γωνιών και τμημάτων

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4972
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ισότητα γωνιών και τμημάτων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Doloros » Κυρ Ιούλ 16, 2017 10:51 am

Ισότητα γωνιών και τμημάτων.png
Ισότητα γωνιών και τμημάτων.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές


Σε παραλληλόγραμμο ABCD η διχοτόμος της γωνίας D τέμνει τη διαγώνιο AC στο

E και την ευθεία BC στο Z. Για κάθε σημείο S του ευθυγράμμου τμήματος EZ ,

οι AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS τέμνουν τις ευθείες BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB στα L\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K. Δείξετε ότι AK = CL.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ισότητα γωνιών και τμημάτων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 16, 2017 11:26 am

Καλημέρα Νίκο.

Έστω M \equiv DZ \cap AB.

Από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle CKB με διατέμνουσα \overline{LSA} έχουμε

\dfrac{LC}{LB} \cdot \dfrac{SK}{SC} \cdot \dfrac{AB}{AK}=1 (1).

Από τα όμοια τρίγωνα \vartriangle KSM, \vartriangle DSC έχουμε \dfrac{SK}{SC}=\dfrac{KM}{DC} (2).

Η (1) γράφεται \dfrac{AK}{LC}=\dfrac{SK \cdot AB}{LB \cdot SC} \mathop = \limits^{(2)} \dfrac{KM}{DC} \cdot \dfrac{AB}{LB} \mathop = \limits^{AB=DC} \dfrac{KM}{LB}.

Έτσι, \dfrac{AK}{LC}=\dfrac{KM}{LB} =\dfrac{AK+KM}{LC+LB}=\dfrac{AM}{BC} (3).

Όμως, \widehat{CDM}=\widehat{ADM} \Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{AMD} \Rightarrow AM=AD=BC (4).

Από (3), (4) \dfrac{AK}{LC}=\dfrac{KM}{LB}=\dfrac{AM}{BC} =1 \Rightarrow AK=LC.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης