Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

#1

: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.png (9.58 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0)$ το ύψος

και η διχοτόμος

τέμνονται στο

και είναι

Αν

να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου ABC.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε:
Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.png
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0)$ το ύψος και η διχοτόμος τέμνονται στο και είναι

Αν να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

Γεια σου Γιώργο.

Έστω $BC=a, \, AB=c, \, AC=b$ .

Από Θ. Διχοτόμου, $AE=\dfrac{bc}{a+b}, \, EB=\dfrac{ca}{a+b}$ (1) και από εκφώνηση, CK=4KE

(2).

Από Μετρική σχέση, $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ .

Στο τρίγωνο BEC

, εφαρμόζουμε το Θ. Μενελάου με διατέμνουσα την $\overline{AKD}$ έχουμε $\dfrac{DB}{DC} \cdot \dfrac{KC}{KE} \cdot \dfrac{AE}{AB}=1 \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1), (2), (3)} \dfrac{4c^2}{b^2} \cdot \dfrac{\dfrac{bc}{a+b}}{c}=1$ , οπότε

$\dfrac{4c^2}{b^2}=\dfrac{a+b}{b}$ (4).

Από Π.Θ., a^2=b^2+c^2

, άρα

. Συνεπώς, από την (4), $\dfrac{4a^2-4b^2}{b^2}=\dfrac{a+b}{b} \Leftrightarrow \dfrac{4(a-b)(a+b)}{b}=a+b \Leftrightarrow \dfrac{4(a-b)}{b}=1$ , οπότε $b=\dfrac{4a}{5}$ .

Εύκολα $c=\dfrac{3a}{5}$ .

Προφανώς, $\widehat{AEK}=90^0-\widehat{ECA}=90-\dfrac{\widehat{C}}{2}=\widehat{DKC}=\widehat{EKA}$ , οπότε $\widehat{AEK}=\widehat{AKE}$ , έτσι AE=AK=20

.

Όμως, $20=AE=\dfrac{bc}{a+b}=\dfrac{\dfrac{4a}{5} \cdot \dfrac{3a}{5}}{a+\dfrac{4a}{5}}=\dfrac{4a}{15} \Leftrightarrow \boxed{a=75,b=60,c=45}.$

#3

Λίγο μπακαλίστικα .

: πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Έστω

η προβολή του

στη

. Θέτω :

$EB = x,\,\,KD = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EK = u \Rightarrow KC = 4u$ . Θα έχουμε :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{KD}}{{EZ}} = \frac{{CK}}{{CE}} \hfill \\ \frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{EZ}}{{AD}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{y}{{20}} = \frac{{4u}}{{5u}} = \frac{4}{5} \hfill \\ \frac{x}{{x + 20}} = \frac{{20}}{{20 + y}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = 25,\,\,y = 16$ άρα το ορθογώνιο τρίγωνο

$\vartriangle ZBE \to (3,5,4)$ και αφού είναι όμοιο με το $\vartriangle ABC$ και c = 20 + 25 = 45

θα είναι :

$a = 75\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = 60$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε:Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.png
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0)$ το ύψος και η διχοτόμος τέμνονται στο και είναι

Αν να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου

Με $\displaystyle{AM \bot EC}$ οι σημειωμένες γωνίες λόγω και του εγγράψιμου $\displaystyle{AMDK}$ είναι ίσες .Άρα $\displaystyle{AE = AK = 20}$ κι έστω $\displaystyle{EM = MK = x}$

$\displaystyle{A{E^2} = EM \cdot EC \Rightarrow 400 = x \cdot 10x \Rightarrow {x^2} = 40}$ και $\displaystyle{E{C^2} = {\left( {10x} \right)^2} = 4000}$

$\displaystyle{{b^2} = E{C^2} - A{E^2} = 4000 - 400 \Rightarrow \boxed{b = 60}}$

$\displaystyle{MK \cdot KC = AK \cdot KD \Rightarrow 8{x^2} = 20KD \Rightarrow KD = 16 \Rightarrow \boxed{AD = 36}}$ κι από Π.Θ $\displaystyle{\boxed{DC = 48}}$

$\displaystyle{{b^2} = CD \cdot \alpha \Rightarrow 3600 = 48 \cdot \alpha \Rightarrow \boxed{\alpha = 75}}$ οπότε $\displaystyle{\boxed{c = 45}}$

: πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.png (96.8 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση