Σταθερός λόγος

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15019
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 16, 2016 3:09 pm

Σταθερός λόγος.png
Σταθερός λόγος.png (13.1 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές
Το N είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου AOB και το S σημείο , το οποίο κινείται

στο τεταρτοκύκλιο \overset{\frown}{BN} . Από το N φέρουμε τμήμα NP κάθετο στην ευθεία BS .

Η OP τέμνει την AS στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{OT} παραμένει σταθερός .


Λέξεις Κλειδιά:
μέσο-ημικυκλίου
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Σταθερός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Νοέμ 16, 2016 3:39 pm

KARKAR έγραψε:
Σταθερός λόγος.png
Το N είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου AOB και το S σημείο , το οποίο κινείται

στο τεταρτοκύκλιο \overset{\frown}{BN} . Από το N φέρουμε τμήμα NP κάθετο στην ευθεία BS .

Η OP τέμνει την AS στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{OT} παραμένει σταθερός .
Βάζω σε απόκρυψη την απάντηση για να την προσπαθήσουν κι άλλοι, αργότερα θα βάλω την λύση μου.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1835
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ορέστης Λιγνός

Re: Σταθερός λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Νοέμ 17, 2016 12:24 am

KARKAR έγραψε:
Σταθερός λόγος.png
Το N είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου AOB και το S σημείο , το οποίο κινείται

στο τεταρτοκύκλιο \overset{\frown}{BN} . Από το N φέρουμε τμήμα NP κάθετο στην ευθεία BS .

Η OP τέμνει την AS στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SB}{OT} παραμένει σταθερός .
Το NPBO είναι εγγράψιμο διότι \widehat{NOB}=\widehat{NPB}=90^0. Άρα, \widehat{NPO}=\widehat{NBO}=45^0, \widehat{OPB}=\widehat{ONB}=45^0 και επίσης \widehat{NSA}=45^0 (βαίνει στο τόξο AN, που είναι 90^0).

Άρα, το NPST είναι εγγράψιμο (\widehat{NPT}=45^0=\widehat{NST}), και άρα \widehat{NTS}=\widehat{NPS}=\widehat{PST}=\widehat{TNP}=90^0.

Αφού ακόμη \widehat{NPT}=\widehat{TPS}=45^0, το ορθογώνιο αυτό είναι τετράγωνο.

Έτσι, PT=PS\sqrt{2}=a\sqrt{2}.

Το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο POB με διατέμνουσα την STA δίνει :

\dfrac{SP}{SB}\dfrac{TO}{TP}\dfrac{AB}{AO}=1 \Leftrightarrow 2\dfrac{a}{SB}\dfrac{TO}{a\sqrt{2}}=1 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{SB}{TO}=\sqrt{2}}


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες