ΜΕΓΙΣΤO

GIORGARAS · #1

Αν $\displaystyle{{a^2}\, + \,{b^2}\, = \,}$ σταθερό τότε να βρείτε το μέγιστο της παράστασης

$\alpha \, + \,b$

Ορέστης Λιγνός · #2

GIORGARAS έγραψε:Αν $\displaystyle{{a^2}\, + \,{b^2}\, = \,}$ σταθερό τότε να βρείτε το μέγιστο της παράστασης

$\alpha \, + \,b$

Από Cauchy Schwarz είναι $2(a^2+b^2) \geqslant (a+b)^2 \Leftrightarrow \boxed{a+b \leqslant \sqrt{2(a^2+b^2)}}$ .

Το $\sqrt{2(a^2+b^2)}$ είναι σταθερό (αφού είναι και το a^2+b^2

), άρα είναι και το ζητούμενο μέγιστο.

Η ισότητα όταν a=b

.

GIORGARAS · #3

Ευχαριστώ πολύ !

#4

Καλημέρα σε όλους. Κατ' αρχήν θα πρέπει να αλλάξει ο φάκελος του θέματος από "ΟΔΗΓΙΕΣ LATEX" σε θέματα Juniors (ανισότητες) ίσως...

Συμπληρωματικά θα πρότεινα και το εξής:

Έστω a >0, b >0

και

,

σταθερό.

Τότε τα a, b

είναι οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου πλευράς |c|

.

Τότε, το αρχικό πρόβλημα διατυπώνεται ισοδύναμα:
Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, το ισοσκελές έχει τη μέγιστη περίμετρο.

Αναζητήστε καθαρή γεωμετρική λύση στο όμορφο αυτό πρόβλημα (δίχως αλγεβρικές ανισότητες).

Επίσης, μια ερώτηση:

Εφόσον δεχόμαστε ότι τα a, b

διατρέχουν το

, στην απάντησή μας ότι η ισότητα ισχύει όταν a=b

, χρειάζεται και η προσθήκη $a = b \ge 0$ ;

Π.χ. αν a^2+b^2 = 8

, μέγιστο του a + b

, έχουμε για a = b = 2

κι όχι για a = b = -2

.

KARKAR · #5

Σε παλιότερη έκδοση (2004) του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Α' , υπήρχε η εξής άσκηση :

α) Δείξτε ότι : (x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)

β) Αν το άθροισμα x^2+y^2

είναι σταθερό , πότε το άθροισμα x+y

γίνεται μέγιστο ;

Αυτή η έκδοση είχε και άλλες ωραίες εφαρμογές , που απεθύνονταν βέβαια σε μαθητές

που θέλουν "κάτι παραπάνω" , δυστυχώς στις νεότερες εκδόσεις αποσύρθηκαν ...

Christos.N · #6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Επίσης, μια ερώτηση:

Εφόσον δεχόμαστε ότι τα διατρέχουν το , στην απάντησή μας ότι η ισότητα ισχύει όταν , χρειάζεται και η προσθήκη $a = b \ge 0$ ;

Π.χ. αν , μέγιστο του , έχουμε για κι όχι για .

Γιώργο την καλημέρα μου ..

Προφανώς όχι

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} \vec u = \left( {a,b} \right)\\ \vec v = \left( {1,1} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a + b = \vec u\vec v \le |\vec u||\vec v| = \sqrt 2 \sqrt c \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} k = \sqrt {\frac{c}{2}} .\\ \\ \vec u\vec v = |\vec u||\vec v| \Leftrightarrow \vec u \nearrow \nearrow \vec v \Leftrightarrow \vec u = k\vec v,k \in {R^ + }\left( 1 \right) \end{array}}$

Στο παράδειγμα που δίνεις εύκολα βλέπουμε ότι το μέγιστο δεν βρίσκεται στις αρνητικές του τιμές.

#7

Χρήστο καλημέρα.

Μάλλον δεν διατύπωσα καλά τη σκέψη μου. Ας επαναλάβω το συλλογισμό μου παίρνοντας την άσκηση του Θανάση, που έχει θεωρία συμβατή με μαθητές που δεν έχουν διδαχθεί ακόμα Διανυσματικό Λογισμό. Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε και με το δικό σου παράδειγμα.

KARKAR έγραψε:Σε παλιότερη έκδοση (2004) του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Α' , υπήρχε η εξής άσκηση :

α) Δείξτε ότι :

β) Αν το άθροισμα είναι σταθερό , πότε το άθροισμα γίνεται μέγιστο ;

α) $\displaystyle \forall x,\;y \in R\;:\;\;{(x + y)^2} + {(x - y)^2} = {x^2} + 2xy + {x^2} + {x^2} - 2xy + {y^2} = 2({x^2} + {y^2})$ (1)

β) Από την (1) έχουμε $\displaystyle \forall x,\;y \in R\;:\;\;{(x + y)^2} = 2({x^2} + {y^2}) - {(x - y)^2} \le 2({x^2} + {y^2}) = 2k,\;k$ σταθερός μη αρνητικός αριθμός.

Το ίσον ισχύει όταν $\displaystyle x = y$ . Τότε $\displaystyle \left| {x + y} \right| = \left| {2x} \right| = \sqrt {2k} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y = \frac{{\sqrt {2k} }}{2}\\ \;\;\;\;\;\;\; \vee \\ x = y = \frac{{ - \sqrt {2k} }}{2} \end{array} \right.$

Οπότε ΔΕΝ αρκεί να πούμε ότι το x + y

παίρνει τη μέγιστη τιμή του "όταν οι x, y

είναι ίσοι", αλλά όταν $\displaystyle x = y = \frac{{\sqrt {2k} }}{2}$ .

Δεν έχω μπροστά μου τη λύση της παλιάς έκδοσης.

Επαναφέρω την πρότασή μου για ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ του προβλήματος.

edit: Να ευχαριστήσουμε τους Γ. Σ. για την άμεση ταξινόμηση του θέματος στον κατάλληλο φάκελο. Περιττό (;) να επαναλάβουμε προς όλους τους φίλους που αναρτούν θέματα ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ που τα τοποθετούν για να μην ταλαιπωρούν άδικα τους Διαχειριστές και τους Γ.Σ.

Christos.N · #8

Κύριε Γιώργο μου επειδή έχω φάει ένα πρωινό (πολύ ευχάριστα ομολογουμένως αλλά και πολύ κουραστικά) πάνω σε αυτό θα σου περιγράψω μια γεωμετρική όπως την θέλησες και στο τέλος θα σου θέσω έναν ακόμα προβληματισμό.

Στο σχήμα:

: Καταγραφή.PNG (19.68 KiB) Προβλήθηκε 1874 φορές

Τα κόκκινα και μώβ; τρίγωνα είναι όμοια: $\displaystyle{\frac{{x + y}}{d} = \frac{{\sqrt c }}{x} \Rightarrow x + y = \sqrt c \frac{d}{x} \le \sqrt c \frac{{d'}}{x} = \sqrt c \frac{{\sqrt 2 x}}{x} = \sqrt {2c} }$

άρα το μέγιστο όταν $\displaystyle{d = d'}$ , μα τότε κόκκινο ισοσκελές άρα $\displaystyle{d = \sqrt c \Rightarrow y = x = \sqrt {\frac{c}{2}} }$

: Καταγραφή2.PNG (16.69 KiB) Προβλήθηκε 1874 φορές

Και έπεται, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M\left( {x,x + y} \right)}$

Al.Koutsouridis · #9

KARKAR έγραψε:Σε παλιότερη έκδοση (2004) του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Α' , υπήρχε η εξής άσκηση :

α) Δείξτε ότι :

β) Αν το άθροισμα είναι σταθερό , πότε το άθροισμα γίνεται μέγιστο ;

Αυτή η έκδοση είχε και άλλες ωραίες εφαρμογές , που απεθύνονταν βέβαια σε μαθητές

που θέλουν "κάτι παραπάνω" , δυστυχώς στις νεότερες εκδόσεις αποσύρθηκαν ...

Κανονικά θα έπρεπε να εμπλουτιστούν τα βιβλία με τέτοιου είδους προβλήματα που μπορούν να έχουν όμορφες γεωμετρικές ερμηνείες, αλγεβρικές γενικεύσεις και γενικότερα που θα σηκώνουν περαιτέρω συζήτηση σε διάφορα επίπεδα και θα δουλεύουν προπαρασκευαστικά για αργότερα.

Η σχέση αυτή είναι η σχέση που συνδέει τις διαγωνίους ενός παραλληλογράμμου με τις πλευρές του. Σχέση που χρησιμοποιείται και στην ανάλυση και έχει ακριβώς αυτό το νόημα π.χ.

"Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας χώρος

με νόρμα ευκλείδειος είναι να ικανοποιείται για κάθε σημείο x,y

KARKAR · #10

: Πέμπτη αρχή.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 1804 φορές

Για τη Γεωμετρία των Ιησουιτών είναι η πέμπτη αρχή : Με σταθερό το x^2+y^2

, το

κινείται

στο ημικύκλιο . Θεωρώντας

στην προέκταση της

, ώστε :

, λόγω της

γωνίας 45^0

, το

κινείται σε κύκλο , με κέντρο το μέσο του ημικυκλίου , οπότε

το BP (=x+y)

μεγιστοποιείται όταν η

γίνει διάμετρος και τότε : x=y

#11

Τη λύση του Θανάση είχα υπόψιν, δίχως να θυμάμαι ότι είναι θέμα των Ιησουιτών!
Εξαιρετική και η προσέγγιση του Χρήστου με την ομοιότητα, που δίνει λαβές για νέες ιδέες στο θέμα.

Παίρνοντας ως αφορμή την όμορφη μέθοδο από τον Χρήστο με τα διανύσματα, θα αιτιολογογήσω ότι χρειάζεται να αναφέρουμε όχι μόνο ότι τα a, b

είναι ίσα (που συμβαίνει σε δύο περιπτώσεις που ικανοποιούν την υπόθεση), αλλά και ότι χρειάζεται να γράφουμε και την θετική τιμή που παίρνουν.

Christos.N έγραψε:
Γιώργος Ρίζος έγραψε: Επίσης, μια ερώτηση:

Εφόσον δεχόμαστε ότι τα διατρέχουν το , στην απάντησή μας ότι η ισότητα ισχύει όταν , χρειάζεται και η προσθήκη $a = b \ge 0$ ;
Γιώργο την καλημέρα μου ..

Προφανώς όχι

Έστω $\displaystyle {a^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \,{b^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \,k,\;\;\;\;\left( 1 \right)\;\;\;k \ge 0$

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\vec u = \left( {a,b} \right)}\\ {\vec v = \left( {1,1} \right)} \end{array}} \right\} \Rightarrow a + b = \vec u\vec v \le |\vec u||\vec v| = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {2k} .}\\ {}\\ {\vec u\vec v = |\vec u||\vec v| \Leftrightarrow \vec u \nearrow \nearrow \vec v} \end{array}$ .

Η τελευταία σχέση μας δίνει ότι τα a, b

είναι θετικά(ή μηδέν), και αφού είναι ίσα μεταξύ τους, η μόνη τιμή που επαληθεύει την υπόθεση είναι $\displaystyle a = b = \frac{{\sqrt {2k} }}{2}$ .

Δίνω μια ακόμα λύση στο θέμα, χρησιμοποιώντας την τεχνική της Δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μια μέθοδο πολύ διαδεδομένης πριν μερικές δεκαετίες, όταν η χρήση της Ανάλυσης (ακρότατα μέσω παραγώγων) δεν χρησιμοποιούνταν ευρέως.
Υπάρχει και η τετριμμένη λύση με παραγώγους. Ας μείνει για εξάσκηση των μαθητών.

Αν $\displaystyle {a^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} \,{b^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} \,k,\;\;\;\;\left( 1 \right)\;\;\;k \ge 0$ σταθερό τότε να βρείτε το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle \alpha {\mkern 1mu} \, + \,{\mkern 1mu} b$ .

Έστω a+b = m

. Τότε

.

Η (1) γίνεται $\displaystyle {a^2} + {\left( {m - a} \right)^2} = k \Leftrightarrow 2{a^2} - 2ma + {m^2} - k = 0$ .

Η διακρίνουσα της (1) είναι $\displaystyle \Delta = 8k - 4{m^2}$ .

Για να έχει λύσεις η (1), δηλαδή να υπάρχουν $\displaystyle a \in R$ που να ικανοποιούν την αρχική σχέση, πρέπει $\displaystyle m \le \sqrt {2k}$ , οπότε είναι $\displaystyle a + b \le \sqrt {2k}$ .

Οπότε η μέγιστη τιμή του αθροίσματος προκύπτει όταν $\displaystyle m = \sqrt {2k}$ δηλαδή όταν $\displaystyle a = b = \frac{{\sqrt {2k} }}{2}$ .

Christos.N · #12

Να συνεχίσουμε την διάχυση του και σε άλλες περιοχές με αφορμή την λύση του Γιώργου και την αντιμετώπιση του Θανάση και Αλέξανδρου.

Έστω $\displaystyle{x + y = A}$ όπου $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = c \Rightarrow |y| = \sqrt {c - {x^2}} }$

Τότε: $\displaystyle{A \le |A| = |x + y| \le |x| + |y| \le |x| + \sqrt {c - {x^2}} \mathop = \limits^{x \ge 0} x + \sqrt {c - {x^2}} }$

Για την συνάρτηση

$\displaystyle{\begin{array}{l} f\left( x \right) = x + \sqrt {c - {x^2}} ,0 \le x \le \sqrt c \\ x \in \left( {0,\sqrt c } \right):f'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {c - {x^2}} }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x > \sqrt {\frac{c}{2}} \\ \\ f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x < \sqrt {\frac{c}{2}} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{f \in C\left[ {0,\sqrt {\frac{c}{2}} } \right]} f\left( x \right) \le f\left( {\sqrt {\frac{c}{2}} } \right) = \sqrt {2c} \end{array}}$

Άρα το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{A}$ επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{y = x = \sqrt {\frac{c}{2}} }$ και είναι $\displaystyle{\sqrt {2c} }$ .

ΜΕΓΙΣΤO

ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Re: ΜΕΓΙΣΤO

Μέλη σε σύνδεση